Matematické Fórum

Akcope · 14. 03. 2014 15:00

Dobrý den, potřeboval bych pomoc s převodem následujících slovních úloh na příklady typu hledání vázaného extrému funkce více proměnných.

1) Při jakých rozměrech bude mít otevřená nádoba tvaru kvádru o objemu V minimální povrch?

Zavedl jsem si: $V(x,y,z) = xyz$ , $A(x,y,z)=xy+2yz+2xz$ . Nevím ale, která z funkcí by byla omezující množina, a do jaké rovnosti by měla být postavena.

2) Nalezněte patu kolmice vedené počátkem k přímce dané rovnicemi $x+y-3=-7, x-y+z=3$ .

Zde předpokládám že rovnice přímky jsou omezující množiny. Ale jak získám funkci která mi bude zadávat kolmici k dané přímce vedené počátkem? Tedy spíš otázka na analytickou geometrii.

Předem díky za odpověď.

Jj · 14. 03. 2014 15:17 — Editoval Jj (14. 03. 2014 15:24)

↑ Akcope:

Dobrý den, řekl bych, že první příklad:

Najít minimum funkce $A(x,y,z)=2xy+2yz+2xz$ za podmínky $xyz=V$ (V je konstanta).

Doplněno:

Na dané přímce najít bod, v němž je směrový vektor jeho spojnice s počátkem kolmý na směrový vektor dané přímky. To by měla být pata hledané kolmice.

Akcope · 14. 03. 2014 16:40

Děkuji za odpověď. První příklad mi díky vašemu návodu vyšel skoro správně, ale výsledek se přeci jen neshoduje (podle skript je to $\sqrt[3]{2V},\sqrt[3]{2V},\frac{1}{2}\sqrt[3]{2V}$ ). Bude to mít něco do činení s tím, že nádoba je otevřená (proto jsem také ve funkci ubral jeden koeficient 2). Níže dávám svůj postup, možná jsem tam udělal chybu. Pokud ne, čím by to mohlo být?

Část1
Část2

Ohledně příkladu 2), prosil bych o něco detailnější vysvětlení jak na to. Chtěl bych také úlohu řešit jako vázaný extrém. Jelikož se dané dvě přímky budou dotékat v jednom bodě, bude tam nastávat jak globální max, tak min.

Rumburak

↑ Akcope:
Zdravím.

I druhou úlohu lze řešit přes vázané extrémy (a snad je to i požadováno):

Jde o to najít na přímce určené rovnicemi

(1) $x+y-3=-7, x-y+z=3$

bod mající od počátku soustavy souřadnic nejmenší vzdálenost.

Jelikož se dané dvě přímky budou dotékat v jednom bodě,

Které přímky a ve kterém bodě ? Rovnice v (1) jsou rovnicemi různoběžných rovin, jejichž průnikem je ta přímka určena.

Naše úloha je tedy příkladem úlohy formálně se dvěma vazbami.

Jj · 14. 03. 2014 19:03

↑ Akcope:

V prvním příkladě se chybka asi vloudila do řešení té soustavy lineárních rovnic.

Vyšlo mi

z 1,2: x = y
z 1,3: x = 2z
+ čtvrtá rovnice a vyšly rozměry jako podle výsledků ve skriptech (lambda ani není nutné počítat).

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2014 15:00

Slovní úlohy na vázané extrémy

#2 14. 03. 2014 15:17 — Editoval Jj (14. 03. 2014 15:24)

Re: Slovní úlohy na vázané extrémy

#3 14. 03. 2014 16:40

Re: Slovní úlohy na vázané extrémy

#4 14. 03. 2014 17:01 — Editoval Rumburak (14. 03. 2014 17:10)

Re: Slovní úlohy na vázané extrémy

#5 14. 03. 2014 19:03

Re: Slovní úlohy na vázané extrémy

Zápatí