Matematické Fórum

filija · 31. 03. 2014 19:31

Na grafu funkce f(x)= $\sqrt{\frac{1}{2}x+2}$ najděte bod, který má nejkratší vzdálenost od počátku souřadnic a určete tuto nejmnší vzdálenost. Řešte jako úlohu na extrém.

Vím, jak získat extrémy a to vše, ale nevím z čeho přesně ten bod a tu vzdálenost vypočítat. Jsem vděčný za každou radu.
Předem děkuji

jelena · 31. 03. 2014 20:47 — Editoval jelena (31. 03. 2014 23:29)

Ještě pozdrav,

předpokládám, že máš ujasněno, že na extrém bude třeba vyšetřovat funkci $h(x)$ , která bude vyjadřovat vzdálenost mezi bodem na grafu a počátkem souřadnic. Pro sestavení takové funkce potřebuješ vzorec na vzdálenost bodů v rovině (analytická geometrie) a souřadnice bodu "počátku souřadnic" a bodu na grafu, označíme ho třeba A [x; y].

Podaří se tak pokračovat a to je ten moment, který není jasný? Děkuji.

Edit: změna označení funkce k vyšetření na extrém (f(x) je již označení funkce pro zadanou křivku, proto novou funkci pro vzdálenost bodu označím jinak h(x))

kotipelto

Ahoj,

tady jsou pro tebe důležité následujíci úvahy:

1) pro vzdálenost mezi dvěma body: $|AB| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 }$

2) dále předpokládejme (i když to není ze zadání jednoznačné), že souřadnice jsou dány v kartezském systému souřadnic a počátek (bod A) $A = [0;0]$

3) všechny body B funkce $f(x)$ jsou definovány jako $B = [x,f(x)]$

Dál už by to měla být hračka :).

filija · 01. 04. 2014 09:10

Děkuji, jen jedna věc mi není stále jistá, jak mi pomohou extrémy, k nalezení toho nejbližšího bodu ?

jelena · 01. 04. 2014 09:15

Pro kolegu kotipelto - omluva, ale podstatné úvahy jsem zatím skryla - je to samostatná práce, tedy dle doporučení v příspěvku 2 kolega má již všechno dohledat sám (tabulky, věřím, má).

↑ filija:

úloha požaduje nalezení na zadaném grafu nejbližšího bodu k počátku souřadnic, což je totéž, jako nalezení nejkratší vzdálenosti mezi zadanými body. Vzdálenost můžeme zapsat jako funkci h(x) a tuto funkci budeme vyšetřovat na extrém (minimum a maximum), potřebujeme minimum. Zkusil jsi k úloze také nakreslit obrázek? Jinou úlohu na extrémy jsi již řešil? Materiály máš? Děkuji.

filija · 01. 04. 2014 09:20

↑ jelena:
Jojo, takto jestli to chápu, vzdálenost lokálního minima od počátku. Jako vím, jak se dělají extrémy a vše co k tomu patří, ale nikdy jsem se nesetkal s podobným tipem zadání.
Mnohokrát děkuji za radu

jelena · 01. 04. 2014 09:31

↑ filija:

není za co, upřesní ještě, prosím, jak jsi sestavil funkci k vyšetření $h(x)$ - tedy jak jsi zapsal vzdálenost bodu na grafu $f(x)=\sqrt{\frac{1}{2}x+2}$ a počátku souřadnic. Protože až novou funkci $h(x)$ budeme vyšetřovat na lokální extrém.

vzdálenost lokálního minima od počátku

toto není jasné zatím. Děkuji.

filija · 01. 04. 2014 09:49

↑ jelena:
Takze mam tento vzorec $|AB|=\sqrt{(b1-a1)^{2}+(b2-a2)^{2}}$
Z něho udělám novou fuknkci, kterou zderivuji najdu její lokální extrémy. a vypočítám vzdálenost toho lokálního minima od počátku

Cheop · 01. 04. 2014 10:08

↑ filija:
Obrázek pomůže?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/39664_func.png

jelena · 01. 04. 2014 10:14

↑ Cheop:

:-) samostatná práce, samostatná práce. Nemám raději opakovat "Česká Třebová"? Znáš ten vtip? Zdravím.

↑ filija:

ano, podle tohoto vzorce budeš sestavovat funkci k vyšetření. Ještě doporučení:

- jelikož hned na úvod je zadána funkce, na které hledáme bod, je vhodné stanovit definiční obor pro $f(x)=\sqrt{\frac{1}{2}x+2}$ , ať nehledáme tam, kde nic není a celkově - práce s funkci má začínat od def. oboru,

- kolegové doporučuji, pokud funkce k vyšetření bude obsahovat druhou odmocninu (což sestavená funkce obsahovat bude), lze na extrém vyšetřovat jen funkci pod odmocninou.

Cheop · 01. 04. 2014 10:19 — Editoval Cheop (01. 04. 2014 10:20)

↑ jelena:
Zdravím:-)
Já ty předešlé příspěvky nečetl.(že je to samostatná práce)
Vtip neznám, ale rád si ho přečtu. (když mi ho napíšeš)

jelena · 01. 04. 2014 11:12

↑ Cheop:

:-) nenapíší, on je to vtip kreslený (od Renčína), pokud nikdo jiný nepřidá, tak hodně pozdě večer (snad ho najdu). Konec OT - zpět k extrémům.

Croolman

Zajímalo by mě, jak dosadit do té rovnice na výpočet vzdálenosti dvou bodů, když je prakticky ten první bod zadaná parabola. Ať počítám jak počítám, pořád mi vychází s prominutím hovadiny.

jelena · 01. 04. 2014 11:54

↑ Croolman:

první bod (na grafu) má souřadnice $[x; \sqrt{\frac{1}{2}x+2}]$ . Napiš, prosím, jak jsi dosazoval a co vyšlo. Děkuji.

Croolman

Aha, tak to potom vyjde následovně: $|AB| = \sqrt{x^{2}-\frac{x}{2}-2}$
EDIT: špatně znaménka

jelena · 01. 04. 2014 12:56

↑ Croolman:

znaménka ještě překontroluj, prosím. Dosazuješ do vzorce $|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^{2}+(b_2-a_2)^{2}}$ , trošku změníme označení - na grafu bude bod $B[x; \sqrt{\frac{1}{2}x+2}]$ , počátek souřadnic bude bod $A [0; 0]$ .

Croolman · 01. 04. 2014 13:00

↑ jelena:

$|AB| = \sqrt{x^{2}+\frac{x}{2}+2}$ Dobrá, toto už musí být finální forma, zbytek už je jednoduchý. Tento myšlenkový vklad byl důležitý. Děkuji.

kotipelto

↑ jelena: Naopak, já jsem omlouvám, asi jsem napověděl příliž. Možná omluva by byla v tom, že jsem to bral z nostalgie, sám jsem obdobný příklad řešil samostatně ve škole a do dnes si pamatuji, jak jsem se natrápil (tehdy nebylo matematické fórum), tak jsem chtěl kolegu ušetřit stejného trápení. :)

jelena · 03. 04. 2014 00:30

↑ Cheop: slíbený vtip :-)

↑ kotipelto: také děkuji, kolegové nakonec samostatnost prokázali, příspěvek jsem již otevřela.

tehdy nebylo matematické fórum

:-) tak byl(a) v dosahu spolužák(žáčka). Téma označím za vyřešené.

petercz · 16. 12. 2014 19:56

Prosím o radu, řeším podobný příklad tak snad nebude vadit když to přidám sem,
mám f(x)=-x^2 +2 a mám najít nekratší vzdálenost mezi bodem na grafu fce a počátkem,
postup je popsán výše (ze vzorce pro vzdálenost si vytvořím fci kterou zderivuji, najdu extrémy a následně vzdálenost minima od počátku), ale stále mi vychází hodnoty mezi 1,1 a 1,2 což mi přijde málo??

petercz · 16. 12. 2014 20:28

nebo mi vyšlo 1.581 což je zas moc...

jelena · 17. 12. 2014 00:15

↑ petercz:

Zdravím,

vadit to příliš nebude, jediný problém, že Tebe zde najde tak jen místní uklizečka - tedy já. Pokud máš jasno s postupem - našel jsi ho v tématu, potom je lepší si založit samostatné téma se zápisem řešení. Jinak to nejde posoudit, zda Tvůj výsledek je tak akorát. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2014 19:31

Extrémy

#2 31. 03. 2014 20:47 — Editoval jelena (31. 03. 2014 23:29)

Re: Extrémy

#3 01. 04. 2014 01:20 — Editoval kotipelto (01. 04. 2014 01:43)

Re: Extrémy

#4 01. 04. 2014 09:10

Re: Extrémy

#5 01. 04. 2014 09:15

Re: Extrémy

#6 01. 04. 2014 09:20

Re: Extrémy

#7 01. 04. 2014 09:31

Re: Extrémy

#8 01. 04. 2014 09:49

Re: Extrémy

#9 01. 04. 2014 10:08

Re: Extrémy

#10 01. 04. 2014 10:14

Re: Extrémy

#11 01. 04. 2014 10:19 — Editoval Cheop (01. 04. 2014 10:20)

Re: Extrémy

#12 01. 04. 2014 11:12

Re: Extrémy

#13 01. 04. 2014 11:46 — Editoval Croolman (01. 04. 2014 11:48)

Re: Extrémy

#14 01. 04. 2014 11:54

Re: Extrémy

#15 01. 04. 2014 11:59 — Editoval Croolman (01. 04. 2014 12:05)

Re: Extrémy

#16 01. 04. 2014 12:56

Re: Extrémy

#17 01. 04. 2014 13:00

Re: Extrémy

#18 02. 04. 2014 00:30 — Editoval kotipelto (02. 04. 2014 00:33)

Re: Extrémy

#19 03. 04. 2014 00:30

Re: Extrémy

#20 16. 12. 2014 19:56

Re: Extrémy

#21 16. 12. 2014 20:28

Re: Extrémy

#22 17. 12. 2014 00:15

Re: Extrémy

Zápatí