Matematické Fórum

hans66 · 01. 04. 2014 21:39

Ahoj, chtěl bych Vás poprosit jak na tento príklad?
Moc nechápu co a jak počítat. Děkuji za jakoukoliv radu :-)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/81121_transformace.PNG

Jj · 03. 04. 2014 16:24

↑ hans66:

Dobrý den. Máte dán diferenciální výraz spočítaný pro obecně danou funkci dvou proměnných f(x,y) a vztahy pro transformaci do nových nezávislých proměnných u a v. Tuto transformaci máte provést.
Proměnné v direrenciálním výrazu lze transformovat podla daných transformačních vztahů u = y, v = y/x; transformaci parciálních derivací obecně daných funkcí budete muset spočítat. Vyjdete ze vztahu

f(x, y) = F(u, v), kde u, v jsou danou funkcí původních proměnných.

a spočítáte příslušné parciální derivace $_{f''_{xx}, f''_{xy}}$ a nahradíte je v zadaném výrazu. Uvedený předpoklad o spojitosti parciálních derivací funkce f se projeví v záměnnosti smíšených derivací funkce f, tzn., že $_{f''_{xy} = f''_{yx}}$ (můžete si vybrat, co se počítá lépe).

Příklad vyžaduje značnou pozornost - jde o parciální derivace složených funkci.
Inspiraci můžete zístkat tady Odkaz

hans66 · 03. 04. 2014 22:04 — Editoval hans66 (03. 04. 2014 22:08)

↑ Jj:
tak jsem tu neco vyplodil
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/55243_transfor1.jpg

ted,ale nevim jak udelat $f''xy$ , nechapu jak dojit ke vzorci

Jj · 04. 04. 2014 15:48 — Editoval Jj (04. 04. 2014 16:53)

↑ hans66:

Je třeba si uvědomit, že máte dvě obecné funkce f(x,y) a F(u,v) (nebo tato označena jiným písmenem). Z tohoto pohledu Vaše derivace (na pravých stranách výrazů) nejsou v pořádku a plete se mi to při pokusu o kontrolu.

Máme f(x,y) = F(u(y),v(x,y)), takže (když nevypisuju "nulové" členy)

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

Čili další derivace jako derivace součinu dvou funkcí (z toho jedna složená):
$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial F}{\partial v}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial v}{\partial x}$=$
$=$\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial x}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot $\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}$=\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot$\frac{\partial v}{\partial x}$^2+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial^2 v}{\partial x^2}=$
$=\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot\frac{y^2}{x^4}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{2y}{x^3}$ , takže nám to zřejmě vyšlo stejně.

Pak bych, řekl, že
$x\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot\frac{y^2}{x^3}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{2y}{x^2}=\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot\frac{v^3}{u}+\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{2v^2}{u}$

Podobně:
$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$= \frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial v}{\partial x}$=$
$= $\frac{\partial^2 F}{\partial v \partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v} \cdot\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$

Bude-li se v tomto případě derivovat "naopak", tj. $_{\frac{\partial }{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial y}$}$ , tak musí vyjít stejný výsledek.

Na výpočet nemá mít vliv to, zda dosazujete za derivace u, v během výpočtu (pamatovat na to, že půjde o derivaci součinu) nebo až na konci.

Chtělo by to, abyste to zkontroloval - toto nepočítám každý den.

hans66 · 08. 04. 2014 18:03

Děkuji, tak snad to chápu :-)

juraj1 · 06. 04. 2015 17:16

↑ Jj:
Můžete zde prosím upřesnit výpočet druhé parciální derivace podle xy a dosazení do původního výrazu. Děkuji

Jj · 06. 04. 2015 20:07

↑ juraj1:

$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial x}$=\frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$= \frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial F}{\partial v}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{\partial }{\partial y}$\frac{\partial v}{\partial x}$=$

Nevím, co vlastně upřesnit. Podle výrazu za 2. rovnítkem jde o derivaci součinu dvou funkcí (každá z nich je už jednou derivována). Pomocí závorek je naznačen postup derivace součinu - parciální derivace prvního činitale x druhý činitel + parciální derivace druhého činitele x první činital (v podstatě jako derivace součinu funkcí jedné proměnné).

$= $\frac{\partial^2 F}{\partial v \partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial^2 F}{\partial v^2}\cdot \frac{\partial v}{\partial y}$ \cdot \frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial F}{\partial v} \cdot\frac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}$

V dalším postupu už je nutná značná pozornost (a zjišťuji, že teď už jí nejsem schopen). Je třeba mít na vědomí, že výraz $\frac{\partial F}{\partial v}$ je opět složenou funkcí proměnných u, v - a podle toho jej derivovat (aplikace v podstatě téhož postupu, jako u prvních derivací - v závorce je uveden výsledek této derivace).

Při derivaci výrazu $\frac{\partial v}{\partial x}$ (kde v = y/x) už tento postup samozřejmě není nutný, je možno derivat hned jen podle y.

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2014 21:39

Transformace do novych nezávislých proměnných-prosim o radu

#2 03. 04. 2014 16:24

Re: Transformace do novych nezávislých proměnných-prosim o radu

#3 03. 04. 2014 22:04 — Editoval hans66 (03. 04. 2014 22:08)

Re: Transformace do novych nezávislých proměnných-prosim o radu

#4 04. 04. 2014 15:48 — Editoval Jj (04. 04. 2014 16:53)

Re: Transformace do novych nezávislých proměnných-prosim o radu

#5 08. 04. 2014 18:03

Re: Transformace do novych nezávislých proměnných-prosim o radu

#6 06. 04. 2015 17:16

Re: Transformace do novych nezávislých proměnných-prosim o radu

#7 06. 04. 2015 20:07

Re: Transformace do novych nezávislých proměnných-prosim o radu

Zápatí