Matematické Fórum

jelinekgreen · 02. 04. 2014 13:23

Dobrý den, poradil by mi někdo s tímto zadáním?

Kruh, čtverec a trojúhelník mají stejný obsah. Nejmenší obvod má?

Může mít vůbec čtverec a kruh stejný obsah? Není právě o tomhle kvadratura kruhu?

vanok · 02. 04. 2014 13:36 — Editoval vanok (02. 04. 2014 13:37)

Ahoj ↑ jelinekgreen:,
Pozor, teleso je nieco priestorove. Cize iste chces hovorit o rovinnych utvaroch.
Na urovni strednej skoly najst dokaz o obvodoch je priblizit tazke.
Ale mozes skusat tuto situaciu napr pre kruh, rovnostranny trojuholnik, stvorec, rovnostranny 5- uholnik atd, .a napisat co konstatujes a co by si navrhoval dokazat.

Kvadratura kruhu je trochu iny problem. Ide o najdenie euklidovskej konstrukcie stvorca, ktory ma ten isty obsah ako dany kruh. Co sa tyka euklidovskej konstrukcii, hladaj informacie na Webe.

jelinekgreen

↑ vanok:Promiň, útvray...
A kdybych na to měl 2 minuty u přijímaček? Jakože to je jejich součástí, takže by to mělo jít rychle a jednoduše. No říkám si, jestli ty obvody nebudou stejné?

Jinak jde teda o možnost sestrojení konečným počtem kroků za pomoci pravítka kružítka, zjednodušeně? Ale stejně, copak to byť jen teoreticky jde spočítat, když je pí transcendentální? Ale dejme tomu, že ty obsahy stejné jsou, když to tak mají v zadání. Každopádně, když mi tam pozítří padně něco takového, jak se rychle rozhodnout?

jelinekgreen · 02. 04. 2014 14:00

↑ jelinekgreen:

Tak jsem si položil obsahy rovny 1 a obvody mi vyšly :

Trojúhelník = 2.8
čtverec = 4
kruh = 3.5

Takže správná odpověď by měla být: trojúhelník má nejmenší obvod. Souhlasí se mnou, prosím, někdo? :)

jarrro · 02. 04. 2014 14:04 — Editoval jarrro (02. 04. 2014 14:20)

↑ jelinekgreen:je rozdiel otázka

môžu mať štvorec a kruh rovnaký obsah ?

a otázka

dá sa euklidovsky zostrojiť štvorec s rovnakým obsahom ako zadaný kruh ?

odpoveď na prvú otázku je áno každý kruh s polomerom r a štvorec so stranou
$r\sqrt{\pi}$ majú rovnaký obsah.
odpoveď na druhú otázku je nie.
ak je ten trojuholník rovnostranný tak obvod je v prípade jednotkového obsahu
$\frac{6}{\sqrt[4]{3}}$
a v prípade kruhu $2\sqrt{\pi}$

Honzc · 02. 04. 2014 14:16 — Editoval Honzc (02. 04. 2014 14:18)

↑ jelinekgreen:
Jak píše ↑ vanok: najít důkaz pro obecný trojúhelník je trochu těžší, ale budeme předpokládat, že máš vyřešit úlohu s kruhem, čtvercem a rovnostranným trojúhelníkem.
(musíš věřit, že ze všech trojúhelníků stejného obsahu má nejmenší obvod právě rovnostranný trojúhelník)

Pak si vyjádři obecně plochy:
$S=\pi r^{2}=a^{2}=\frac{b^{2}}{4}\sqrt{3}$

Obvody budou: $2\pi r,\,4a,\,3b$
Zvol si třeba $r=1$ (ať se ti líp počítá) a z rovnosti vztahů
1.kruh-čtverec $\pi=a^{2}$ spočítej $a$ a pak zjisti, které z čísel obvodů je menší
2.to samé pro kruh-rovnostranný trojúhelník.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cheop · 02. 04. 2014 14:23 — Editoval Cheop (02. 04. 2014 14:49)

↑ jelinekgreen:
Nebo ještě:
$o_k=2a\sqrt{\pi}\\o_c=4a\\o_t=2a\sqrt[4]{27}$
a tedy:
$2a\sqrt{\pi}\,<\,4a\,<\,2a\sqrt[4]{27}\\\sqrt{\pi}\,<\,2\,<\,\sqrt[4]{27}\\o_k\,<\,o_c\,<\,o_t$

jelinekgreen

↑ Honzc:
↑ jarrro:
Děkuju :)

↑ jarrro: - No ale takový trojúhelník je skutečně "jen" matematický, ne? Protože nikdy nebudeme znát velikost strany přesně.. Decimálně teda.. Jakože s čím větším počtem míst budeme operovat, tak jeho obsah bude neustále lehce haprovat o stále menší odchylky.

Udělal jsem chybu v trojúhelníku, kvůli stupidnímu předpokladu... Jsem si v rychlosti řekl, že v rovnostranném se bude výška rovnat základně a tak mi vyšla uplně jiná hodnota. Teď už to je v pořádku. Takže moc děkuji :)

↑ Cheop:
A kde se tam prosím vzalo to "a" u kruhu a trojúhelníku?

Matematické Fórum

#1 02. 04. 2014 13:23

Rovinná tělesa

#2 02. 04. 2014 13:36 — Editoval vanok (02. 04. 2014 13:37)

Re: Rovinná tělesa

#3 02. 04. 2014 13:41 — Editoval jelinekgreen (02. 04. 2014 13:43)

Re: Rovinná tělesa

#4 02. 04. 2014 14:00

Re: Rovinná tělesa

#5 02. 04. 2014 14:04 — Editoval jarrro (02. 04. 2014 14:20)

Re: Rovinná tělesa

#6 02. 04. 2014 14:16 — Editoval Honzc (02. 04. 2014 14:18)

Re: Rovinná tělesa

#7 02. 04. 2014 14:23 — Editoval Cheop (02. 04. 2014 14:49)

Re: Rovinná tělesa

#8 02. 04. 2014 14:57 — Editoval jelinekgreen (02. 04. 2014 14:58)

Re: Rovinná tělesa

Zápatí