Matematické Fórum

Makakpo

Ja sa to snazim pocitat uz par dni ale stale mi nie je jasne co to vlastne je. Definicia z wiki:
Derivácia nejakej funkcie je zmena (rast) tejto funkcie v pomere k veľmi malej zmene jej premennej či premenných.

No tato definicia sa mi zda byt dost nedostatocna lebo pri velmi malej zmene to co znamena tento pojem? Ja si dokazem tu velmi malu zmenu urobit akukolvek a tie priamky potom budu akekolvek. Priklad:
http://www.fastimages.eu/images/derivaciaa.png

Na obrazku som zvyraznil tri cervene rozne priamky, ktora z nich je derivaciou funkcie v bode $a$ ??? Ved pri velmi malej zmene to moze byt ktorakolvek. A este jedna vec: ked sa bavime o derivacii vo vlastnom bode tak ide o derivaciu v jednom jedinom bode tak ako je mozne ze definicia pracuje z dvoma? Z jednym a este z jednou malou zmenou. Absolutne mi unika pointa toho co derivacia skutocne je, profak mi to nejak dobre nevysvetlil a ja v tom vidim spor.

jarrro · 03. 04. 2014 07:40

žiadna priamka nie je derivácia. derivácia je číslo prípadne plus alebo mínus nekonečno
a presne tak ako je to aj napísané je to limita pomeru prírastkov
$f^{\prime}{$x$}=\lim_{h\to 0}\frac{f{$x+h$}-f{$x$}}{h}=\lim_{t\to x}{\frac{f{$t$}-f{$x$}}{t-x}}$

Marian · 04. 04. 2014 07:18

↑ kotipelto:

Vzhledem k tomu, že není známo zaměření a typ školy tazatele, zdá se mi, že tvá interpretace typu 'user friendly' může mít potenciálně negativní efekt.

Ať se navíc ale snažím být maximálně tolerantní ke tvému příspěvku, je prostě nesprávný. Jak naznačil kolega jarrro výše, derivace a její grafická interpretace je až příliš zásadní rozdíl.

;-)

Honzc · 04. 04. 2014 11:35 — Editoval Honzc (04. 04. 2014 11:37)

↑ Makakpo:
Zkusím ti vysvětlit ještě více "uživatelsky - po lopatě" (pro funkci jedné proměnné)
Máme nějakou funkci $y=f(x)$
Pak existuje-li vlastní (tj. konečná) limita
$\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
pak říkáme, že $f(x)$ má v bodě [b]a derivaci[/b]. Příslušnou derivaci značíme $f'(a)$
To tedy znamená, že derivace se ve své podstatě vztahuje na nějaký bod funkce.
Potom opravdu hodnota (číslo) derivace funkce v bodě x=a, předsatavuje (je rovna) směrnici tečny k funkci $f(x)$ v bodě $(a,f(a))$
Ono tě možná mate pojem bod v pojetí derivace (tady to znamená nějaké x=a) a skutečný bod v kartézské soustavě souřadnic, který má souřadnice (x,y)=(a,f(a))
A dále
Má-li $f(x)$ derivaci v každém bodě $x\in (a,b)$ , říkáme, že má v $(a,b)$ derivaci

Pokud se týká tvého obrázku, pak určitě není nakreslen korektně, protože v každém bodě funkce (pokud tedy v tom bodě derivace existuje a je vlastní) můžeš nakreslit pouze jednu tečnu a její směrnice je derivací funkce (číslo) v daném bodě.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Makakpo · 04. 04. 2014 11:46

tak ok, myslim ze je mi to jasnejsie .. derivacia sa vztahuje na jeden bod funkcie. Toto mi bolo trochu nejasne.

Rumburak · 04. 04. 2014 12:40

↑ Makakpo:
Pokusím se to shrnout:

Když se hovoří o derivaci, tak je třeba rozlišovat dvě významové roviny:

1) Derivace funkce $f$ v bodě $a$ , což je číslo (případně i $\pm \infty$ ) definované jako

$f'(a) := \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ,

pokud tato limita existuje.

Příklad: pro $f(x) := x^2 , a \in \mathbb{R}$ je

$f'(a) := \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{(a+h)^2-a^2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2ah+h^2}{h} = \lim_{h\to0}(2a+h) = 2a$ ,

2) Derivace jakožto funkce. Pokud v každém bodě množiny $M \subseteq D(f)$ existuje derivace funkce $f$ , je tím zároveň definována
funkce, která každému bodu $x \in M$ přiřadí hodnotu $f'(x)$ . Tuto funkci nazýváme derivací funkce $f$ na množině $M$ .
Příklad: funkce $x \mapsto 2x$ je derivací funkce $x \mapsto x^2$ v $\mathbb{R}$ .