Matematické Fórum

vanok · 05. 04. 2014 13:44

Pozdravujem,
Tu je jedno cvicenie z géométrie trojuholnika:
Je dany jeden trojuholnik ABC, jeden bod P v rovine trojuholnika.
Dokazte, ze priesecik
symetrickeho obrazu priamky PA podla osy uhla v A
symetrickeho obrazu priamky PB podla osy uhla v B
symetrickeho obrazu priamky PC podla osy uhla v C
je jeden bod. ( oznacme ho P*).

byk7 · 05. 04. 2014 13:52

Hmm... Nebude to nějaká variace na Lemoinův bod?
Tam se to tušim dokazuje pomocí trigonometrické Cèvovy věty.

vanok · 05. 04. 2014 14:04

Ahoj ↑ byk7:,
Ceva, to je dobra myslienka ... Skus ju vyuzit.

O tom bode bode si pohovorime po rieseni tejto ulohy.

byk7 · 24. 04. 2014 12:32 — Editoval byk7 (24. 04. 2014 22:31)

Přímky $AP,BP,CP$ se protínají v jednom bodě, splňují proto Cèvovu větu, tj.

obrázek Zobrazit/skrýt!

$\frac{\sin|\sphericalangle BAP|}{\sin|\sphericalangle PAC|}\cdot\frac{\sin|\sphericalangle CBP|}{\sin|\sphericalangle PBA|}\cdot\frac{\sin|\sphericalangle ACP|}{\sin|\sphericalangle PCB|}=1$ .
Nechť
$\mathcal{O}_{o_{\sphericalangle CAB}}(P)=P_1,\mathcal{O}_{o_{\sphericalangle ABC}}(P)=P_2$ a $\mathcal{O}_{o_{\sphericalangle BCA}}(P)=P_3$ , (body $P_1,P_3$ leží podle obrázku na úsečkách $AP^*,CP^*$ a bod $P_2$ leží na polopřímce $BP^*$ )
pak ale platí
$o_{\sphericalangle CAB}=o_{\sphericalangle PAP_1},o_{\sphericalangle ABC}=o_{\sphericalangle PBP_2},o_{\sphericalangle BCA}=o_{\sphericalangle PCP_3}$ ,
to ale znamená, že platí i
$|\sphericalangle BAP|=|\sphericalangle CAP_1|,|\sphericalangle PAC|=|\sphericalangle P_1AB|$ , $|\sphericalangle CBP|=|\sphericalangle ABP_2|,|\sphericalangle PBA|=|\sphericalangle P_2BC|$ a
$|\sphericalangle ACP|=|\sphericalangle BCP_3|,|\sphericalangle PCB|=|\sphericalangle P_3CA|$ ,
takže se rovnají i siny oněch úhlů, tj.
$1=\frac{\sin|\sphericalangle BAP|}{\sin|\sphericalangle PAC|}\cdot\frac{\sin|\sphericalangle CBP|}{\sin|\sphericalangle PBA|}\cdot\frac{\sin|\sphericalangle ACP|}{\sin|\sphericalangle PCB|}=\frac{\sin|\sphericalangle CAP_1|}{\sin|\sphericalangle P_1AB|}\cdot\frac{\sin|\sphericalangle ABP_2|}{\sin|\sphericalangle P_2BC|}\cdot\frac{\sin|\sphericalangle BCP_3|}{\sin|\sphericalangle P_3CA|}$ ,
což ale znamená, že se přímky $AP_1,BP_2,CP_3$ protínají v jednom bodě, označme ho $P^*$ .

BakyX · 24. 04. 2014 22:13

↑ vanok:

Tvrdenie nie je úplne pravdivé, pre body $P$ na kružnici opísanej $ABC$ v bežnom ponímaní nebude platiť.

Ak však uvažujeme nevlastné body, čo je naozaj dobré a korektné, tak je to v pohode :)

vanok · 25. 04. 2014 00:30 — Editoval vanok (25. 04. 2014 00:42)

Ahoj ↑ BakyX:
Vidim, ze si vyriesil dane cvicenie, a ze si aj konstatoval, ze co sa sa deje, ked dany bod je na opisanej kruznici trojuholniku ABC. ( a dobre si vyjadril co sa deje v afinej a aj v projektivnej situacii ... Ukazat tento specialny pripad vdaka genialnej geogebre, moze ilustrovat lepsie tvoju poznamku).

Poznamka: tu http://en.wikipedia.org/wiki/Isogonal_conjugate najdes nieco viac o tych bodoch...
Inac body P, P* ( ak existuju) maju suvis zo zaujimavymi kuzeloseckamy. O tom napisem viac na buduce.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2014 13:44

Zaujimavy bod

#2 05. 04. 2014 13:52

Re: Zaujimavy bod

#3 05. 04. 2014 14:04

Re: Zaujimavy bod

#4 24. 04. 2014 12:32 — Editoval byk7 (24. 04. 2014 22:31)

Re: Zaujimavy bod

#5 24. 04. 2014 22:13

Re: Zaujimavy bod

#6 25. 04. 2014 00:30 — Editoval vanok (25. 04. 2014 00:42)

Re: Zaujimavy bod

Zápatí