Matematické Fórum

Ještě doplním něco málo co vím k fyzikální analogii. Některé na první pohled nesouvisející jevy skutečně popisují rovnice stejného tvaru. Napadá mě např.:

1) Kroucení tyče nějakého konstantního průřezu popisuje stejná diferenciální rovnice jako tvar mýdlové membrány nad rámečkem stejného tvaru jako má ta tyč, když z jedné jeho strany má vzduch větší tlak než z druhé. (Snad jsem to nepopletl.)
2) Vedení tepla popisuje stejná rovnice jako molekulární difuzi.
3) Elektrické obvody lze někdy řešit jako soustavy hmotných bodů, pružin a tlumičů.

Toho se dá využít při měření. Např. změřit mechanické napětí uvnitř nějakého materiálu je prakticky nemožné. Ale změřit jak „vysoko“ je mýdlová blána nad nějakým místem jde snadno. Takový postup lze ale použít jen tehdy, když si odpovídají tzv. bezrozměrná čísla toho problému. Např. pro tu difuzi musí platit určité vztahy mezi Nusseltovým, Prandtlovým, Schmidtovým a Scherwoodovým číslem.

K té hustotě energie.

Klasická teorie gravitace a elektrostatika jsou postaveny na stejném základu.
Gravitační zákon:


Coulumbův zákon


Hustota v elektrostatice.
V diskrétním případě se energie soustavy bodových nábojů rovná


V modelu spojitě rozloženého náboje



Kde integrace probíhá přes celý prostor. Jenže za hustotu náboje můžu dosadit z Gaussova zákona, integrál pak rozepsat a nakonec dojdeme ke tvaru


To nás vede k definici hustoty energie jako w=1/2*epsilon*E*E

Jelikož intenzita pole lze v gravitaci definovat napsorto stejně jako v elektrostatice, a Gaussův zákon taktéž, tak můžeme celý postup aplikovat i pro gravitační pole.


Pokud chci poloměr té koule stlačit o nekonečně malou hodnotu dr tak na to spotřebuji práci


Což vede k přírůstku energie


Ze zachování energie se tyto veličiny musí rovnat atd.

↑ FliegenderZirkus:

Jasný já si to potom uvědomil že sem to zformuloval špatně

↑ pietro:
Děkuji
Oni zkoumají gravitaci ve středu koule, zatím co já na povrchu. Výsledky se liší akorát o násobek, tudíž si myslím, že pro hrubý řádový odhad v mém modelu lze uplatnit i můj výsledek...

↑ medvidek:
Já chtěl říci tlak ne gravitace :)

↑ medvidek:

Tak ten model je opravdu zjednodušený. Vlastně se jedná o část třetí úlohy z IPhO 2012 z Estonska.
Celá úloha je víceméně jen o tom, udělat hrubé odhady.

Máme stlačitelný plyn, který zabírá konečný prostor (první zjednodušení) a to tak, že tvoří kouli o daném poloměru r0.

Ten se začne smršťovat (důsledek gravitace). V určitém okamžiku se přestane smršťovat, a máme ODHADNOUT poloměr, při kterém se to stane. V rámci tohoto hrubého řádového odhadu víme, že máme uvažovat že tlak se v kouli nemění, teplota také ne.

Zjednodušující fakt, že ani hustota se nemění beru jako rovnocenný s předpokladem že se tlak nemění ( nezpůsobí mnohem větší odchylku od reality než ten fakt že ten tlak je stejný)

v autorském řešení píšou, že je možno postupovat úvahou jakou jsem zvolil já (dál nerozebírají) a jelikož to jejich původní řešení by mě nenapadlo, tak chci to svoje dotáhnout do konce. Oni hustotu odhadli tak, že má stejný tvar k jakému jsem dospěl já, kromě faktoru 1/6. Jenže takový odhad by mě nikdy nenapadl, proto jsem se k němu musel nějak dopracovat.


Takže když to shrnu, můj model je následující - Máme kouli o daném poloměru tvořenou plynem, tlak i teplota je všude stejná (z toho usuzujem že i hustota je všude stejná) a ptám se jak velká síla (resp tlak) nutí kouli smršťovat. Jelikož zkoumám smršťování (změna poloměru), tak zkoumám tlak na povrchu koule.


v další úvaze bych určil jak velký tlak nutí plyn expandovat a tyto tlaky bych porovnal...