Matematické Fórum

Makakpo

Ahoj.
Rolleho veta o spojitosti, diferencovatelnosti atd.
Jej znenie, ktore som nasiel na nete:
Nech funkcia f je spojita na intervale $[ a,b]$ . Nech funkcia je diferencovatelna v lubovolnom bode $x\in\mathbb(a,b)$
Nech $f(a)=f(b)$ , potom existuje take $\xi\in\mathbb(a,b)$ , ze $Df(\xi)=0$

Dnes som sa s touto vetou chvilu zaoberal a rozmyslal nad nou. A moja otazka je, co by sa stalo keby predpoklad o spojitosti nebol? Teda nech neplati ze f je spojita, aky dopad by to malo na vyrokovu hodnotu vety? Neplatila by?

Podla mna je to zbytocna podmienka, ak dobre rozumiem co veta hovori a nemusi byt spojita, ale neviem to matematicky dokazat ale tak preco by musela byt spojita?

vanok · 05. 04. 2014 20:46 — Editoval vanok (05. 04. 2014 20:48)

Rolle-ova veta sa uci na vysokej skole.
Ako je mozne, ze si nerozmyslal o jej dokaze? Ked ju uz na strednej skole poznas.
Tak sa zamysli nad jej dokazom? A tiez o uzitocnosti pouzitich hypotez.
A tak uvidis ze tvoja otazka, po skutocom studiu jej dokazu je zbytocna.

jarrro · 05. 04. 2014 21:48 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 22:25)

keď to formuluješ tak, že vo vnútri intervalu musí byť diferencovateľná tak stačí predpokladať príslušné jednostranné spojitosti v krajných bodoch, lebo spojitosť vo vnútorných bodoch už vyplýva z diferencovateľnosti.
veta však platí aj vo formulácii

Rolle napsal(a):
1.Nech je funkcia $f$ spojitá na $\left\langle a, b\right\rangle$
2. Nech funkcia $f$ má na $\left(a, b\right)$ deriváciu (nič sa nevraví o konečnosti derivácie)
3. Nech $f{$a$}=f{$b$}$
Potom existuje $\xi\in$a, b$$ také, že $f^{\prime}{$\xi$}=0$

Makakpo

no ano, lenze ja nechcem dokaz tejto vety, ale ja chcem vediet co by bolo keby predpoklad ze "funkcia f je spojita "neplatil. Celkom si to neviem predstavit.

Inymi slovami, mame tvrdenie:

Nech funkcia je diferencovatelna v lubovolnom bode $x\in\mathbb(a,b)$
Nech $f(a)=f(b)$ , potom existuje take $\xi\in\mathbb(a,b)$ , ze $Df(\xi)=0$

O spojitosti nic nehovorim, takze moze byt nespojita a napriek tomu bude existovat $\xi\in\mathbb(a,b)$ take ze $Df(\xi)=0$ ??

jarrro · 05. 04. 2014 22:19 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 08:41)

bez toho by to neplatilo zober si napríklad
funkciu
[mathjax]f{\left(x\right)}=\begin{cases}\frac{1}{x}\text{ ak }x\in\left(0,1\right\rangle\\ 1\text{ ak }x=0\end{cases}[/mathjax]

Makakpo

nechapem preco to pri vasej funkcii nebude platit, je sice nespojita ale nenajdeme take $\xi$ ?
a mimochodom rolle-ho veta neplati pre $f(x)=(x-2)^2+2$ na intervale $(1,3)$ nie tak nahodou?
Funkcia je na intervale $\xi\in\mathbb(1,3)$ spojita, tiez plati $f(1)=f(3)$ a predsa neexistuje $\xi\in\mathbb(a,b)$ , take ze $D f(\xi)=0$

jarrro · 05. 04. 2014 22:29 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 22:37)

samozrejme keď opakujem tvoje chyby a nenapíšem správne znenie vety vynulovať sa má samozrejme derivácia nie
funkcia. už som to opravil a hlavne je dôležitá tá (stačí zo správnej strany) spojitosť v krajných bodoch
práve preto, že sú splnené tvoje predpoklady (diferencovateľnosť na vnútri a rovnosť v krajoch), ale nie je splnené tvrdenie hypotézy (derivácia na vnútri jednotkového intervalu je $-\frac{1}{x^2}$ čo nikdy nie je nula) tak to ukazuje, že ten predpoklad spojitosti na uzavretom intervale má opodstatnenie, teda, že bez neho to jednoducho nie je pravda

Makakpo

Tak funkciu $f(x)=1/x$ dodefinujeme tak aby bola spojita na intervale $(0,1)$ a tym padom vyvratime rollovu vetu lebo derivacia $-1/x^2=-1/0$ nebude rovna nule. Da sa tak dodefinovat?

jarrro · 05. 04. 2014 22:46 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 22:52)

↑ Makakpo:na $$0, 1$$ už $\frac{1}{x}$ spojitá je aj bez dodefinovania a na
$\left\langle 0, 1\right\rangle$ sa spojito dodefinovať nedá, lebo limita sprava v nule nie je konečná
A hlavne rozlišuj uzavretý a otvorený interval. Zmení to pravdivosť tvrdenia

Makakpo

och, pardon, ospravedlnujem sa.. pomylil som si zatvorky intervalu, vazne sorry. Takze rolleho veta na tejto funkcii nevyvratim, mate pravdu. a co ta moja funkcia $(x-2)^2+2$ ??? Neexistuje take $\xi$ ze derivacia je rovna nule.To som si isty.

jarrro · 05. 04. 2014 22:54

↑ Makakpo:akože nie v bode 2 je predsa derivácia nulová

vanok · 05. 04. 2014 22:54

Cize mam pravdu.
Ak nechces analyzovat dokaz ↑ Makakpo:, tak ako chces tomu rozumiet.
Pozeral si len Rolle alebo aj vsetko co umoznilo dokazat tu vetu.

Makakpo

aha a isto, v 2 to je vazne 0. No tak teraz som zmäteny. Tak asi rollova veta naozaj plati. Poradte mi ako mam zostavit dokaz. Ja by som ju skusil dokazat mozno sporom. Dalo by sa? Alebo priamo?

jarrro · 05. 04. 2014 23:06 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 23:09)

najlepšie priamo, ale treba použiť zopár ďalších tvrdení z analýzy napríklad, že spojitá funkcia na uzavretom ohraničenom intervale nadobúda extrémy, že extrémy spojitej funkcie na uzavretom intervale sa nadobúdajú buď v krajných bodoch alebo v bodoch lokálneho extrému a že ak v bode lokálneho extrému existuje derivácia tak je nutne nulová

vanok · 05. 04. 2014 23:07 — Editoval vanok (05. 04. 2014 23:09)

Ty chces preskakovat etapy

Treba ist postupne.

Len tak nahodou, vies dokazat, ze
Derivatelna funkcia v jednom bode a spojita v tom bode.

Makakpo

Extremy? To prvykrat pocujem, toto uz presahuje moje terajsie vedomosti. Nedalo by sa nejakym inym sposobom? Sporom by sa nedalo? Veta je predsa v tvare implikacie. A implikuje B. Negacia je $A\bigwedge B\prime$ , tak ukazem ze negacia je nepravdiva a je to no nie?

vanok · 05. 04. 2014 23:16

↑ Makakpo:
Tu najdes jeden velmi citately dokaz tej vety
http://www.math.hmc.edu/calculus/tutori … rolle.html
Vsimni si ze ten dokaz pouziva inu, uz dokazanu vetu.
Vidis?
Nasiel si ako sa ta veta vola?
Tak aby tvoj dokaz bol uplny musis ju tiez dokazat.

Atd...
Ak chces zacat robit nieco co potrebuje ine vedomosti, tak ich musis doplnit.

Makakpo · 05. 04. 2014 23:18

Aha ..

jarrro · 05. 04. 2014 23:23 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 23:25)

ale aj tak podľa mňa musíš využiť dané poznatky o funkciách spor by bol v tom, že za predpokladov vety plus predpokladu negácie tvrdenia vety (teda, že derivácia je všade nenulová) vyplýva existencia lokálneho extrému v ktorom existuje nenulová derivácia čo je spor.

Makakpo

Mam este jednu otazku-
Majme tvrdenie:
Nech je funkcia spojita na intervale $(a,b)$ ale v bodoch $a,b$ nech je nespojita.
Nech je diferencovatelna na intervale $(a,b)$ a nech $f(a)=f(b)$ , potom existuje $\xi\in\mathbb(a,b)$ ,take ze $f(\xi)=0$
Bude platit toto tvrdenie?

jarrro · 05. 04. 2014 23:38

nie dokonca ani keď zameníš funkčnú hodnotu za deriváciu kontrapríklad som už predsa uviedol

Makakpo · 05. 04. 2014 23:43

Aha, rozumiem. A keby niekto tvrdil ze tato veta je pravdiva, tak staci ukazat jeden jediny kontrapriklad kedy to neplati a veta je vyvratena?

jarrro · 05. 04. 2014 23:47

áno

Makakpo · 05. 04. 2014 23:49

Tak ok, myslim ze tomu uz rozumiem. Dakujem vam za objasnenie rolleho vety.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2014 18:06 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 23:42)

Rolleho veta.

#2 05. 04. 2014 20:46 — Editoval vanok (05. 04. 2014 20:48)

Re: Rolleho veta.

#3 05. 04. 2014 21:48 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 22:25)

Re: Rolleho veta.

Rolle napsal(a):

#4 05. 04. 2014 22:04 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 23:42)

Re: Rolleho veta.

#5 05. 04. 2014 22:19 — Editoval jarrro (23. 03. 2022 08:41)

Re: Rolleho veta.

#6 05. 04. 2014 22:20 Příspěvek uživatele Makakpo byl skryt uživatelem Makakpo.

#7 05. 04. 2014 22:23 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 22:32)

Re: Rolleho veta.

#8 05. 04. 2014 22:29 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 22:37)

Re: Rolleho veta.

#9 05. 04. 2014 22:41 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 22:42)

Re: Rolleho veta.

#10 05. 04. 2014 22:46 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 22:52)

Re: Rolleho veta.

#11 05. 04. 2014 22:49 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 22:50)

Re: Rolleho veta.

#12 05. 04. 2014 22:54

Re: Rolleho veta.

#13 05. 04. 2014 22:54

Re: Rolleho veta.

#14 05. 04. 2014 22:57 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 22:59)

Re: Rolleho veta.

#15 05. 04. 2014 23:06 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 23:09)

Re: Rolleho veta.

#16 05. 04. 2014 23:07 — Editoval vanok (05. 04. 2014 23:09)

Re: Rolleho veta.

#17 05. 04. 2014 23:09 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 23:14)

Re: Rolleho veta.

#18 05. 04. 2014 23:16

Re: Rolleho veta.

#19 05. 04. 2014 23:18

Re: Rolleho veta.

#20 05. 04. 2014 23:23 — Editoval jarrro (05. 04. 2014 23:25)

Re: Rolleho veta.

#21 05. 04. 2014 23:28 — Editoval Makakpo (05. 04. 2014 23:42)

Re: Rolleho veta.

#22 05. 04. 2014 23:38

Re: Rolleho veta.

#23 05. 04. 2014 23:43

Re: Rolleho veta.

#24 05. 04. 2014 23:47

Re: Rolleho veta.

#25 05. 04. 2014 23:49

Re: Rolleho veta.

Zápatí