Matematické Fórum

JanAdasek

Ahoj,
mám zde úlohu: Počet řešení rovnice $\sin 2x = (\cos x-\sin x)^{2}$ v intervalu $(0,6\pi )$ je roven?

Můj postup řešení
$\sin 2x = cos^{2}x - 2cosxsinx+\sin ^{2}x$
$2\cos x\sin x=sin2x$
$\sin 2x = cos^{2}x +\sin ^{2}x- 2sinx$
$cos^{2}x +\sin ^{2}x=1$
$\sin 2x= - 2\sin x +1$
$\sin ^{2}x+\sin 2x-1=0$

Nyní jsem použil substituci
$sinx=a$
$a^{2}+2a-1=0$
$D=8$
$a_{1}=-1+\sqrt{2}$
$a_{2}=-1-\sqrt{2}$

$a=\sin x$
$\sin x_{1}=-1+\sqrt{2}$
$\sin x_{2}=-1-\sqrt{2}$

Nyní jsem v koncích, jestli je postup správný, a pokud ano jak přečíst počet řešení

gadgetka · 05. 04. 2014 20:39

Ahoj, z prvního řádku $\sin 2x = \cos^{2}x - 2\cos x \sin x+\sin ^{2}x$ tvého výpočtu můžeš udělat
$4\sin x \cos x =1$

JanAdasek

↑ gadgetka:
Děkuji už jsem našel chybu, ale

$4\cos x\sin x=1$
$2\cos x\sin x=\frac{1}{2}$
$\sin 2x=\frac{1}{2}$

a co teď s tím? :D

gadgetka

Teď substituce 2x=t, vyřešíš všechny "t" v intervalu od 0 do 6pí. Pak buď dosadíš za substituci a budeš řešit nanovo, nebo logicky usoudíš, že perioda se dvakrát "scvrkne, čili do intervalu se vejde dvakrát tolik řešení, než vyšlo "t". Pokud jsem se nespletla, vyšlo mi jich

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

JanAdasek

mě vyšlo t má 6řešení , takže 12?

gadgetka · 05. 04. 2014 21:34

Ano, t má 6 řešení, x bude mít dvojnásobek. Můžeš si to přepočítat. ;)

JanAdasek · 05. 04. 2014 22:23

↑ gadgetka:

Děkuji, ale na to bych asi sám nikdy nepřišel :D

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2014 20:35 — Editoval JanAdasek (05. 04. 2014 20:39)

Goniometriká rovnice

#2 05. 04. 2014 20:39

Re: Goniometriká rovnice

#3 05. 04. 2014 20:57 — Editoval JanAdasek (05. 04. 2014 21:11)

Re: Goniometriká rovnice

#4 05. 04. 2014 20:59 — Editoval gadgetka (05. 04. 2014 20:59)

Re: Goniometriká rovnice

#5 05. 04. 2014 21:16 — Editoval JanAdasek (05. 04. 2014 21:18)

Re: Goniometriká rovnice

#6 05. 04. 2014 21:34

Re: Goniometriká rovnice

#7 05. 04. 2014 22:23

Re: Goniometriká rovnice

Zápatí