Matematické Fórum

janca361 · 11. 04. 2014 13:43

Ahoj, potřebuji vyjádřit obecnou rovnici přímky danou body $A[a_1;a_2]$ a $B[b_1;b_2]$ .

$\overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1;b_2-a_2)$ z toho udělám normálový vektor $\vec{n}=(a_2-b_2;b_1-a_1)$

Obecná rovnice přímky: $p: Ax+By+C=0$

$(a_2-b_2)x+(b_1-a_1)y+C=0$

$A \in p$ : $(a_2-b_2)a_1+(b_1-a_1)a_2+C=0$

$a_1a_2-a_1b_2-a_1a_2+a_2b_1+C=0 \nl -a_1b_2+a_2b_1+C=0 \nl C=a_1b_2-a_2b_1$

$(a_2-b_2)x+(b_1-a_1)y+a_1b_2-a_2b_1=0$

$y=\frac{a_2b_1-a_1b_2-(a_2-b_2)x}{b_1-a_1} \nl y=\frac{a_2b_1-a_1b_2+(b_2-a_2)x}{b_1-a_1}$

Řešení by mělo být $y=a_2+\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1} \cdot (x-a_1)$ , ale nějak se mi to nezdá, ani tohle řešení, ani můj výsledek. Onen uvedený "správný výsledek" také vůbec nemusí být správný, protože autor nemusel dodržet konvenci pro matematické zápisy...

vanok · 11. 04. 2014 14:06 — Editoval vanok (11. 04. 2014 14:13)

Ahoj ↑ janca361:,
Tento vysledok $y=a_2+\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1} \cdot (x-a_1)$ jednoducho vyjadruje ze ide o priamku ktora prechadza bodmy $A[a_1;a_2]$ a $B[b_1;b_2]$ , za podmienky, ze $a_1 \neq b_1$

Skutocne dobra odpoved je napr.
$(b_1-a_1).(y-a_2)=(b_2-a_2).(x-a_1)$
A tiez cyklicke varianty.
Ktore sa potom napisu vo vynasobenej forme. ( pozor, delenie je "zakazane")
Ako to nast?
Jednoducho staci ...
Ak nedokazes to dokazat, mozem dat kompletny dokaz. Ale myslim, ze to dokazes sama. ( a potom ten dokaz, i ked si to tu nikto nevsimol som tu uz viac krat dal, nikto nie je povinny citat co pisem, ale z casu na cas to moze byt uzitocne '-))...

janca361 · 11. 04. 2014 14:26

↑ vanok:
Ono nejde tak úplně o matematickou úlohu, ale obecné odvození čehosi do programování (numerické metody řešení rovnic).

Jelikož, jak už jsem tu několikrát psala si nedokážu zapamatovat právě takovéto nádhery jako je onen uvedený výsledek (a také potřebuji něčím zabít čas u tabule ;)) Nejde tedy o to dokázat, že "správný výsledek" platí (i když je fajn vědět, že je to dobře), ale dokázat se ze dvou bodů dostat k obecné rovnici.

Podmínka $a_1 \neq b_1$ z podstaty věci platí (dané přímka musí být grafem funkce).

Zkoušela jsem si ověřit svůj výsledek roznásobením $(b_1-a_1).(y-a_2)=(b_2-a_2).(x-a_1)$ a vypadá to OK. Tak snad je to správně.

vanok · 11. 04. 2014 14:51

Ahoj, vsimla si si ze vzdy pozdravim, podla teba preco?
Porozmyslaj o tej podmienke $a_1 \neq b_1$ !
( ake priamky by si tym stratila? Je to skor naopak, v rovnici co som napisal nemas ziadne vynimky)
co potom povies o bodoch A[1,3], B[-7,3] ?

To mas pravdu, ze dokaz je dolezitejsi ako vzorec naspamat. ( to je velmy dolezity princip! tykajuci sa ludi co su poctivi sami so sebou)

Vidim, ze davas tvoj matematicky slovnik do poriadku.
Rovnica priamky je....
Priamka je....
To je dobre byt presny!

Pises, ze nejde o cvicenie, nesuhlasim, ide o trochu vseobecne cvicenie. .. Casom sa od teba bude od teba pytat o mnoho viac takychto aktivit.

Je tiez dobre mat doveru k sebe. Tvoja posledna veta je pre mna dobra à zdrava odpoved.

Tak dobre pokracovanie a nevahaj z otazkamy....

Honzc · 13. 04. 2014 08:30 — Editoval Honzc (13. 04. 2014 08:31)

↑ janca361:
Řekl bych, že pro numerické metody je nejvhodnější napsat rovnici přímky procházející dvěma body přes vyjádření z determinantu: (a k tomu si udělat funkci na výpočet hodnoty determinantu)
$\begin{vmatrix} x & y & 1\\ a_{1} & a_{2} & 1 \\ b_{1} & b_{2} & 1 \end{vmatrix}=0$
Pak obecná rovnice přímky bude:
$\begin{vmatrix} a_{2} & 1 \\ b_{2} & 1 \end{vmatrix}x+ \begin{vmatrix} b_{1} & 1 \\ a_{1} & 1 \end{vmatrix}y +\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{vmatrix}=0$

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2014 13:43

Obecná rovnice daná dvěma obecnými body

#2 11. 04. 2014 14:06 — Editoval vanok (11. 04. 2014 14:13)

Re: Obecná rovnice daná dvěma obecnými body

#3 11. 04. 2014 14:26

Re: Obecná rovnice daná dvěma obecnými body

#4 11. 04. 2014 14:51

Re: Obecná rovnice daná dvěma obecnými body

#5 13. 04. 2014 08:30 — Editoval Honzc (13. 04. 2014 08:31)

Re: Obecná rovnice daná dvěma obecnými body

Zápatí