Matematické Fórum

Raiper34 · 21. 04. 2014 12:42

Dobrý deň, nemôžem sa dostať cez nasledujúcu rovnicu:
$x^{6} - 3x^{4} + 3x^{2} - 2 = 0$
Nevie niekto poradiť akým spôsobom to mám počítať? Pomocou cardanových vzorcov to jednoducho neviem, a všemožné vynatia a iné triky som skúšal ale nezdá sa, že by to bola rovnica, ktorá by išla vypočítať nejakým typom. Môže ma prosím niekto nasmerovať? Najlepšie nejakým iným smerom ako spomínané vzorce...
Ďakujem.

Freedy · 21. 04. 2014 13:26

Ahoj,

na začátku určitě převést to na rovnici kubickou substitucí x^2 = y
$y^3-3y^2+3y-2=0$
Dále je dobré, vzpomenout si například na vzorec:
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
V tvé rovnici ale překáží dvojka. Bylo by dobré tam mít jedničku. Proto stačí přičíst k obou stranám rovnice jedničku:
$y^3-3y^2+3y-1=1$ a levou stranu upravit na třetí mocninu dvojčlenu:
$(y-1)^3=1$
Nyní už jen zbývá zavést substituci:
$y-1=a$
a máme jednoduchou (binomickou). (předpokládám že nemáte řešit danou rovnici na množině komplexních čísel, proto výjde pouze jeden kořen)
$a^3=1$
$a=1$ Nyní už se stačí navrátit k substitucím:
$y-1=a$
$y-1=1$
$y=2$ . A nyní k substituci na začátku:
$x^2=y$
$x^2=2$
$x_{1,2}=\pm \sqrt{2}$

Raiper34 · 21. 04. 2014 13:43

Vďaka za podrobný postup :) paradoxne mi toto práve sťažilo situáciu... No nič bude musieť zapojiť ruku k dielu aj niekto iný, čo tento postup nevidel... Ale cením si tvojej pomoci a ešte raz ďakujem, akurát už ja už nemôžem ten príklad počítať :-D

Freedy · 21. 04. 2014 14:28

Ahoj,

mě to jen tak napadlo, protože ty trojky uprostřed a vidina toho vzorce je přímo do očí bijící.

Ostatní ti řeknou, že je nejlepší odzkoušet celočíselné dělitele absolutního členu, v tomhle případě +- 1 a +-2. 2 tam očividně sedí, takže poté by si dělila celý čtyřčlen výrazem (x-2), čímž by si se dopracoval na nerozložitelný trojčlen (v R)

Matematické Fórum

#1 21. 04. 2014 12:42

Rovnica vyššieho stupňa

#2 21. 04. 2014 13:26

Re: Rovnica vyššieho stupňa

#3 21. 04. 2014 13:43

Re: Rovnica vyššieho stupňa

#4 21. 04. 2014 14:28

Re: Rovnica vyššieho stupňa

Zápatí