Matematické Fórum

Poboxitze · 28. 04. 2014 16:16

http://forum.matweb.cz/upload3/img/ … 76_JPG.jpg

Ahoj, já udělal toto:

|X+3| < 2 x e R
--------------------
X < 2 - 3
X < -1

Ale netuším, jak to napasovat na ty nabízené výsledky.

Crashatorr · 28. 04. 2014 16:22

↑ Poboxitze:
Ahoj,
Takovou nerovnici nejjednodušeji vyřešíš pomocí geometrického významu absolutní hodnoty- čili vzálenosti. Nakresli si číselnou osu na ní zaznač číslo -3, protože hledáš obraz čísla v absolutní hodnotě což je $|x+3|=|x-(-3)|$ , potom na každou stranu od -3 odměř 2 jednotky a vyznač odpovídající interval podle znaku, potom rozhodni co je řešením nerovnice:)

Rumburak · 28. 04. 2014 16:26

↑ Poboxitze:
Ahoj.

Tvoje řešení včetně metody je špatně. Nerovnice $|x+3| < 2$ v reálném oboru je ekvivalentní buďto
se složenou nerovnicí $-2 < x+3 < 2$ nebo s kvadratickou nerovnicí $(x+3)^2 < 2^2$ .

Poboxitze · 28. 04. 2014 16:52

Děkuji oboum, ale u Rumburaka vůbec nevím, o čem mluví, a U Crashe sedivím, proč ta trojka má být automaticky záporná (vždyt abolutní hodnota může ohraničit i kladné číslo) a proč ZROVNA dvě jednotky?

Děkuji.

Rumburak · 28. 04. 2014 17:11

↑ Poboxitze:

Že dvě formule (např. rovnice či nerovnice) jsou spolu ekvivalentní znamená, že z první formule vyplývá formule druhá
a rovněž i v opačném směru - ze druhé formule vyplývá formule první.

Například: je-li $a$ reálné číslo, potom

z formule $|a| < 5$ plyne $-5 < a < 5$ ,

z formule $-5 < a < 5$ plyne $|a| < 5$ ,

(můžeš si to ověřit na číselné ose), takže formule $|a| < 5$ , $-5 < a < 5$ jsou spolu ekvivalentní.

Poboxitze · 28. 04. 2014 17:37

To mi prosím rozveď, z toho jsem nezmoudřela :)

Rozumím skutečnosti, že pod " |5| " se může skrývat jak kladná, tak záporná hodnota, ale divím se, že že tam mohou být dvě místa na číselné ose, od "a" (je-li možno to "a" brát jako číslo,bod na číselné ose).

Crashatorr · 28. 04. 2014 18:00

↑ Poboxitze:
Zkus si o tom přečíst něco tady :)

Poboxitze · 28. 04. 2014 18:11

Zde je řešení alá kvadratická rovnice, doufám, že správné.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/01492_JPG.jpg

Poboxitze · 28. 04. 2014 18:28

Crashatorr napsal(a):
↑ Poboxitze:
Zkus si o tom přečíst něco tady :)

Př. 1: Vyřeš nerovnici x − ≤ 1 2 všemi způsoby používanými při řešení rovnic.
1. způsob – odstranění absolutní hodnoty dělením R na intervaly (jako u funkcí)
Kdy číslo uvnitř absolutní hodnoty mění znaménko (a tedy i způsob, jakým k němu absolutní
hodnota přistupuje)? ⇒ x x − =1 0 1 ⇒ =
1 ⇒ 2 intervaly
x∈ −∞ ( ;1 x x x x − ≤ => − = − − = − + 1 0 1 ( 1) 1
Řešíme nerovnici: x − ≤ 1 2 .
− + ≤ x 1 2
− ≤1 x Nerovnosti vyhovuje interval − ∞1; ), ale počítáme pouze s čísly v intervalu
x∈ −∞ ( ;1 ⇒ K1 = −1;1 .
x∈ ∞1; ) x x x − ≥ => − = − 1 0 1 1
Řešíme nerovnici: x − ≤ 1 2 .
x − ≤1 2
x ≤ 3 Nerovnosti vyhovuje interval x∈ −∞ ( ;3 , ale počítáme pouze s čísly v intervalu
x∈ ∞1; ) ⇒ K2 = 1;3 .
K K K = ∪ = − 1 2 1;3

To mě neobohatilo :)

Crashatorr · 28. 04. 2014 18:30

↑ Poboxitze:
Neunáhluj se :)
2. způsob - grafické řešení =tam všechno je

Poboxitze · 28. 04. 2014 18:45

Nezlob se, ale ten text na mě působí stejně, jako čínština psaná azbukou... nejde to prosím trošku rozvést? :)

Crashatorr · 28. 04. 2014 19:07

↑ Poboxitze:
Nejjednodušeji to asi pochopíš na rovnicích s absolutní hodnotou:)
Například: $|x+3|=2$
Sám, bez jakéhokoliv řešení ti dojde že x se rovná -1 nebo -5. Jak na to přijít? Hledáme taková čísla x, která mají od čísla -3 vzdálenost 2. Proč -3? Tu absolutní hodnotu můžeš přepsat $|x-(-3)|=2$ - užití významu absolutní hodnoty rozdílu dvou reálných čísel.
Upřímně neznám přesné definice, tak je radši nebudu vypisovat, protože bych tam udělal chybu, ale co je důležité. Uvědomit si že absolutní hodnota udává vzdálenost, v naši rovnici je ta vzdálenost číslo 2. Teď jen potřebuješ upravit ten tvar na levé straně rovnice aby taky svým způsobem udával vzdálenost= musí tam být znaménko mínus, ta absolutní hodnota jakákoliv ve tvaru $|a-b|$ je rovna vzdálenosti obrazů čísel a a b na číselné ose.
Postup by byl takový na číselnou osu naznačíš -3 a jendou přičteš a podruhé odečteš 2, tu vzdálenost. Nevím jak to jednoduše vysvětlit, zkus napsat jestli to trochu chápeš :)

Poboxitze

Tu absolutní hodnotu můžeš přepsat $|x-(-3)|=2$ - užití významu absolutní hodnoty rozdílu dvou reálných čísel.

To je věc, kde sem se zasekla :)

Je tu zádrhel, že naše výuka matiky byla "aby se neřeklo" a čím víc si teď doplňuji znalosti, tím víc vidím, že jsou tam díry.

Je to problém, neznám ten "fortel" je to asi stejný, jako řídit auto tím způsobem, že budu mít na volantu lana, a ta budu ovládat vysící hlavou vzhůru přes zrcadlo, bez vědomí, že volant řídí přední kola...

Crashatorr · 28. 04. 2014 19:21

↑ Poboxitze:
Prostě v každé absolutní hodnotě je jak kdyby udáná vzdálenost mezi dvěma hodnotami (pokud jsou v té abs. hodnotě právě 2 :D). Ta vzdálenost se vyjadřuje znaménkem mínus, tudíž v každé absolutní hodnotě je znaménko mínus, nepíše se tam když hledáš vzdálenost od záporného čísla:) pár příkladů:
$|x+1|=3$ - $|x-(-1)|=3$ to druhé je jakoby ten správný tvar. Hledáš vzdálenost od čísla -1 ne +1, protože potřebuješ v absolutní hodnotě mít mínusko aby se jednalo o vzdálenost:)
další
$|x-1|=3$ - $|x-(+1)|=3$ tady je častější ten první tvar protože - a + dá mínus takže se to zkracuje:) ale jde zase o tu vzdálenost, to mínusko jakoby teď nebylo pravým mínuskem, nepatří k tomu číslu, vyjadřuje vzdálenost, já vím kostrbatá formulace ale ve své podstatě to tak je :) hledáš vzdálenost od čísla +1 ne -1

Lepší:)?

Poboxitze · 28. 04. 2014 19:26

Takže, kdybych chtěla vzdáelnost mezi bodem -2 a 2, a "skoky" (jednotky vzdáleností) mezi nima by byly 4,
napíšu " |X + 2| = 4 ? :)

Crashatorr · 28. 04. 2014 19:32

↑ Poboxitze:
Ne teď máš vzdálenost neznámého čísla=x od -2 je rovna 4 a potom ti vyjde vyřešením že x=-6 a 2
vzdálenost od čísla 2 |x-2|
vzdálenost od čísla -2 |x+2|

Poboxitze · 28. 04. 2014 19:35

Jakto?

Crashatorr · 28. 04. 2014 19:38

↑ Poboxitze:
Jak to myslíš jakto :D? Pokaždé hledáš vzdálenost x od nějakého čísla, které je spolu s ním v absolutní hodnotě, ve všech případech co jsem psal je vzdálenost mezi x a tím číslem rovna čísla na pravé straně rovnice:)

Poboxitze · 28. 04. 2014 19:39

Takže, oprava:

Takže, kdybych chtěla vzdáelnost mezi bodem -2 a 2, a "skoky" (jednotky vzdáleností) mezi nima by byly 4,
napíšu " |X - 4| = 2 ? :)

Crashatorr · 28. 04. 2014 19:49

↑ Poboxitze:
To co píšeš vzdálenost mezi bodem -2 a 2 je pořád 4 to není rovnice nebo je ale nemá smysl ji zapisovat protože z ní nic nevyčteš |-2-(+2)|=4
Jde o tu neznámou nemůžeš chtít vzdálenost od dvou bodů zaráz a mít jednu absolutní hodnotu. V jedné absolutní hodnotě můžeš mít buď vzdálenost od -2 nebo 2 ne obě dvě zaráz

Poboxitze · 28. 04. 2014 19:54

Takže dotřetice:

Takže, kdybych chtěla vzdáelnost mezi bodem -2 a 2, a "skoky" (jednotky vzdáleností) mezi nima by byly 6,
napíšu " |X - 6| = 2 ? :)

Crashatorr · 28. 04. 2014 20:02

↑ Poboxitze:
Vzdálenost mezi bodem -2 a 2 je stále 4, nakresli si osu, nemá smysl psát takové rovnice.
Napiš něco takového spíš:
Takže, kdybych chtěla vzdáelnost mezi bodem x a 2, a "skoky" (jednotky vzdáleností) mezi nima by byly 6,
napíšu " |X - 2| = 6

Rumburak

↑ Poboxitze:

Především je důležité znát DEFINICI funkce "absolutní hodnota reálného čísla $r$ " . Ta definice má 2 větve:

(1) když $r \ge 0$ , potom $|r| := r$ ,

(2) když $r < 0$ , potom $|r| := -r$ .

Například tedy

$|5| = 5$ (protože $5 \ge 0$ , takže postupujeme podle (1) ) ,
$|-5| = 5$ (protože $-5 < 0$ , takže postupujeme podle (2) a $-(-5) =5$ ) .

Nerovnici

(3) $|x+3| < 2$

můžeme řešit i přímým použitím této definice. Analogicky s ní se úloha "rozpadne" na dva případy:

1. když $x + 3 \ge 0$ , potom $|x+3| = x + 3$ a nerovnici (3) můžeme zjednodušit na $x+3 < 2$ ,

2. když $x + 3 < 0$ , potom $|x+3| = -(x + 3)$ a nerovnici (3) můžeme zjednodušit na $-(x+3) < 2$ .

V praxi to znamená, že:

případ 1 vede k soustavě nerovnic $x + 3 \ge 0 , x+3 < 2$ (obě musí být splněny zároveň), jejíž všechna řešení
dají jistou množinu $M_1$ (předpokládám, že ji budeš umět určit sama),

případ 2 vede k soustavě nerovnic $x + 3 < 0 , -(x+3 ) < 2$ (obě musí být splněny zároveň), jejíž všechna
řešení dají jistou množinu $M_2$ (předpokládám, že ji budeš umět určit sama).

Nyní můžeme ony dvě "větve" zase spojit: množinou všech řešení nerovnice (3) je $M_1 \cup M_2$ .

EDIT. K té vzdálenosti:
Znázorníme-li reálná čísla na číselné ose obvyklým způsobem (tj. rovnoměrně) a budeme-li vzdálenost mezi body $x, x + 1$
považovat za jednotkovou, potom vzdáleností $d(u,v)$ reálných čísel $u, v$ na této ose bude číslo $|u - v|$ .

Poboxitze

když $x + 3 \ge 0$ , potom $|x+3| = x + 3$ a nerovnici (3) můžeme zjednodušit na $x+3 < 2$ ,

2. když $x + 3 < 0$ , potom $|x+3| = -(x + 3)$ a nerovnici (3) můžeme zjednodušit na $-(x+3) < 2$ .

No to jo, ale z čeho určtím, zda ta část v absulutní hodnotě je větší nebo menší než nula? Ze zadání? Anebo mám vypracovat možnost pro obě varianty?

-----------

Jako myslím si, že když mám výraz |x+3| < 2, tak buďto

1. nemám jak určit, zda je větší nebo rovno ('jeho část nalevo od znaménka menší než) 0

2. je menší než nula, protože dvojika je po nule (jakože |x+3| <0,1, 2,) ale to mi přijde zcestný.

Poboxitze · 30. 04. 2014 07:10

Tak co s tím prosím? :)

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2014 16:16

Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#2 28. 04. 2014 16:22

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#3 28. 04. 2014 16:26

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#4 28. 04. 2014 16:52

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#5 28. 04. 2014 17:11

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#6 28. 04. 2014 17:37

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#7 28. 04. 2014 18:00

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#8 28. 04. 2014 18:11

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#9 28. 04. 2014 18:28

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

Crashatorr napsal(a):

#10 28. 04. 2014 18:30

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#11 28. 04. 2014 18:45

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#12 28. 04. 2014 19:07

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#13 28. 04. 2014 19:13 — Editoval Poboxitze (28. 04. 2014 19:16)

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#14 28. 04. 2014 19:21

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#15 28. 04. 2014 19:26

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#16 28. 04. 2014 19:32

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#17 28. 04. 2014 19:35

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#18 28. 04. 2014 19:38

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#19 28. 04. 2014 19:39

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#20 28. 04. 2014 19:49

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#21 28. 04. 2014 19:54

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#22 28. 04. 2014 20:02

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#23 29. 04. 2014 09:55 — Editoval Rumburak (29. 04. 2014 10:10)

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#24 29. 04. 2014 18:41 — Editoval Poboxitze (29. 04. 2014 18:42)

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

#25 30. 04. 2014 07:10

Re: Nerovnice - mám k dispozici výsledky (?).

Zápatí