Matematické Fórum

milan.w · 28. 04. 2014 19:51

Zdravím, potřeboval bych poradit s výpočtem křivkového integrálu v komplexní analýze

$\int_{\varphi}\frac{dz}{z^2+1}, \qquad \varphi(t)=-3i+e^{it}, \qquad t\in[0,\pi]$

Rumburak · 29. 04. 2014 10:23

↑ milan.w:
Zdravím také.
Integrační křívka je půlkružnice. Zkusil bych ji doplnit úsečkou na uzavřenou křivku a použít Cauchyho větu.

milan.w · 29. 04. 2014 19:49

↑ Rumburak:↑ Rumburak:

Děkuji za reakci, mohl byste prosím trochu blíže nastínit postup? opravdu nevím jak na to.

Rumburak

↑ milan.w:

1. Integrované funkce $f$ má singularity pouze v bodech $\pm i$ - právě v nich je jmenovatel zlomku roven 0. Na zbytku komplexní
roviny je tato funkce holomorfní.

2. Křívka s popisem $\psi (t)=-3i+e^{it}, \qquad t\in[0,2\pi]$ je kružnicí se středem v bodě $-3i$ a poloměrerem 1, pří čemž
oba singulární body funkce $f$ leží vně uzavřeného kruhu $K$ ohraničeného touto kružnicí, takže v komplexní rovině existuje
jednoduše souvislá oblast $G$ obsahující tento kruh a tím spíše i každý jeho půlkruh a zároveň taková, že funkce $f$ je na ní holomorfní.

3. Křívka $\varphi$ s popisem $\varphi(t)=-3i+e^{it}, \qquad t\in[0,\pi]$ je půlkružnicí kružnice uvažované v předchozím kroku a jejími
krajními body jsou $-3i + 1 , -3i -1$ . Spojme je úsečkou $\gamma$ tak, aby bod $-3i -1$ byl jejím bodem počátečním. Potom
uzavřená křívka $\varphi + \gamma$ leží celá v oblasti $G$ , takže podle Cauchyho věty je

$\int_{\varphi + \gamma}\frac{dz}{z^2+1} = 0$ ,

odtud

$\int_{\varphi} \frac{dz}{z^2+1} = - \int_{\gamma}\frac{dz}{z^2+1} = \int_{- \gamma}\frac{dz}{z^2+1}$ .

Integrace přes půlkružnici je tak převedena na jednodušší integraci přes úsečku, další postup třeba podle definice křivkového integrálu.

EDIT.
Z toho, co jsem napsal, by mělo být jasné, že k integrované funkci $f$ existuje na zmíněné jednoduše souvislé oblasti $G$
primitivní funkce - označme ji $F$ . Takže daný křivkový integrál bude mít hodnotu $F(b) - F(a)$ , kde $a, b$ jsou počáteční
resp. koncový bod integrační křivky ležící v oblasti $G$ . Odtud plyne další možnost výpočtu.