Matematické Fórum

Annmn · 29. 04. 2014 12:03 — Editoval Annmn (29. 04. 2014 12:06)

Zdravím,

pokouším se vyřešit příklad, kdy máme na sobě do pyramidy postavené 3 skleněné lahve, tyto leží na skleněné podložce (všechny součinitele smykového tření jsou totožné).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/63420_7.6.png

Mám vypočítat hodnotu součinitele smykového tření, aby se lahve nerozjely.

Výsledek je $\mu = \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{1+\cos(\frac{\pi}{6})}=0.268$ , ale nemám tušení, jak se k němu dostat.

Můj chybný výpočet:
Začínám tak, že si rozkreslím síly působící na spodní pravou lahev.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/63984_7.6.2.png

$F$ je síla, kterou působí horní lahev na spodní. Podle mně by to mělo být $F=F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$ , jako složka tíhové síly horní lahve, která působí na pravou spodní lahev. Pak $F_{ft}=\mu \cdot F=\mu F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$ .

$F_t=\mu F_g$

Dále si tyto síly chci převést do vodorovné roviny, protože síla, která chce lahví pohnout doprava mínus třecí síla mezi lahvi, by měla být kompenzována třecí sílou spodní lahve s podložkou, aby byla soustava stabilní (u levé spodní lahve budou platit totožné výpočty).

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/64940_7.6.3.png

Mezi $F$ a $F_c$ je 60 stupňů, mezi $F_{tf}$ a $F_{tc}$ je 30 stupňů.

$F_{c}=\cos \left( \frac{\pi}{3}\right)F=\cos \left( \frac{\pi}{3}\right)F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$
$F_{tc}=\cos \left( \frac{\pi}{6}\right)F_{tf}=\cos \left( \frac{\pi}{6}\right)\mu F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$

Dosadím do rovnováhy sil
$F_t=F_c-F_{tc}$
$\mu F_g = \cos \left( \frac{\pi}{3}\right)F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) - \cos \left( \frac{\pi}{6}\right)\mu F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$
$\mu F_g +\cos \left( \frac{\pi}{6}\right)\mu F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right) =\cos \left( \frac{\pi}{3}\right)F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$

$\mu = \frac{\cos \left( \frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)}{1+\cos \left( \frac{\pi}{6}\right) \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)}= 0.247$

Což je špatně... Tak na co zapomínám?

jelena · 29. 04. 2014 13:58

Zdravím,

zkus ještě, prosím, překontrolovat úvodní rozklad tíhové síly horního válce na jednotlivé válce (tedy jak se rozloží $F_g$ na dvě $F$ (do rovnoběžníku) - myslím, že tento vztah neplatí

$F=F_g \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)$

nebo to ještě prodiskutujeme nad obrázkem tohoto rozkladu. Děkuji.

Annmn · 29. 04. 2014 14:16 — Editoval Annmn (29. 04. 2014 14:17)

↑ jelena:

Tak já to počítám jako na tomto obrázku
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/73600_7.6.4.png

působiště síly jen přesunu do bodu styku vrchní a spodní lahve. Je na této úvaze něco špatně?

jelena · 29. 04. 2014 15:32

↑ Annmn:

děkuji, ale pokud vektorově sečteš síly $F$ , musí dávat $F_g$ , což u Tebe nebude. Nejdřív bych dořešila tento bod a našla F (kosinová věta).

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2014 12:03 — Editoval Annmn (29. 04. 2014 12:06)

Příklad pyramida z lahví

#2 29. 04. 2014 13:58

Re: Příklad pyramida z lahví

#3 29. 04. 2014 14:16 — Editoval Annmn (29. 04. 2014 14:17)

Re: Příklad pyramida z lahví

#4 29. 04. 2014 15:32

Re: Příklad pyramida z lahví

Zápatí