Matematické Fórum

hans66 · 03. 05. 2014 09:32

Ahoj chtěl bych vas poprosit jak počítat tuto diferencialni rovnici...z teorie moc moudrej nejsem.

Řešte diferencialní rovnici:
$y'-\frac{2y}{x}=-x^{2}y^{2}$ , $y(1)=1$

Jj · 03. 05. 2014 10:18

↑ hans66:

Dobrý den, jde o Bernoulliovu diferenciální rovnici. Substitucí se dá
převést na lineární diferenciální rovnici: Odkaz

hans66 · 03. 05. 2014 18:08

↑ Jj: tak jsem neco dal snad dohromady, je to takto dobre? jak mam ted pokracovat?
Děkuji

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/33295_dif.jpg

Jj · 03. 05. 2014 19:52

↑ hans66:

Dobrý den. Není to tak dobře.

Rovnici $y'-\frac{2y}{x}=-x^2y^2$ vyřešíte postupem podle odkazu, který jsem uvedl tady ↑ Jj:.

1. Rovnici vydělit $y^2$ : $\frac{y'}{y^2}-\frac{2}{xy}=-x^2$

2. Uplatnit substituci $z=\frac{1}{y}\; \Rightarrow z' = -\frac{y'}{y^2}$
Takže po substituci a úpravě $z' + \frac{2z}{x}=x^2$

Teprve tuto lineární rovnici pro funkci z(x) je možno řešit Vámi použitou metodou, po řešení
se vrátit zpětnou substitucí znovu k proměnné y(x).

hans66 · 03. 05. 2014 22:14 — Editoval hans66 (03. 05. 2014 22:16)

↑ Jj:

Tak tady jsem to zkoušel spočítat, ale nejspíš tam někde dělám chybu, protože by se mi měli $C(x)$ odečíst jestli se nepletu.. zkousel jsem to i s tou substituci, ale nevycházelo mi $y$
podle tohoto postupuOdkaz

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/47849_20140503_220806.jpg

Jj · 04. 05. 2014 09:17

↑ Jj:

Postup podle prvního obrázku je mimo - aplikujete metodu řešení lineární rovnice na nelineární,
což nemůže vést k cíli, tzn. jinak bez komentáře.

Na druhém obrázku jsou chyby. Takže k řešení:
Při uplatňování substituce máte hned na počátku chybu ve znaménku: Má být $z' = - y'/y^2$ ,
takže rovnice po substituci musí být $z' + \frac{2z}{x}=x^2$ .

Řešení homogenní rovnice (tj. pravá strana = 0) bude $z = \frac{C}{x^2}$ . Vy jste sice
došel ke stejnému výsledku, ale jen proto, že máte ve výpočtu další chybu (při správném
odlogaritmování by Vám vyšlo z = C*x^2). Ovšem "štěstí" při trefě řešení homogenní rovnice Vám
je málo platné - dále by se projevilo špatné znaménko na počátku řešení.

Další chyba je v tom, že jste už v této fázi prováděl zpětnou substituci. Tu můžete provést
až po dořešení lineární rovnice - tj. až po variaci konstanty:

$z' = \frac{C'}{x^2}-\frac{2C}{x^3}\; \Rightarrow \frac{C'}{x^2}-\frac{2C}{x^3} + \frac{2C}{x^3}=x^2 \Rightarrow C = \frac{x^5}{5}+ C_1$
Takže
$z = \frac{x^3}{5}+\frac{C_1}{x^2}$ a teprve teď zpětná substituce: $z = \frac{1}{y}\; \Rightarrow y = \frac{5x^2}{x^5+5C_1}= \frac{5x^2}{x^5+C}$

a z počáteční podmínky y(1)=1 spočítat konstantu C.

Při kontrole výpočtu pomocí MAW máte chybu v tom, že na vstupu jste napsal
čtvrtou mocninu x místo druhé.

Jinak - dobře děláte, že počítáte sám. Při tom se určitě začnou chyby rychle "vytrácet".

hans66 · 04. 05. 2014 11:00

↑ Jj: tak doufam ze už tento postup bude lepší než minulý...

jen jsem se chtel jeste zeptat u tohoto kroku: $z = \frac{1}{y}\; \Rightarrow y = \frac{5x^2}{x^5+5C_1}= \frac{5x^2}{x^5+C}$

poslední krok kde se z $C_{1}$ stalo $C$ kam zmizelo číslo $5$ ?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/93833_dif_rce.jpg

Jj · 04. 05. 2014 11:20

↑ hans66:

Řekl bych, že to je v pořádku.

Kam zmizelo číslo 5? "Ztratilo" se v integrační konstantě C (C = 5C1). Takže tam "v podstatě"
pořád je, není třeba ji zvlášť uvádět.

Pokud byste pro y(1) = 1 vycházel z řešení $y = \frac{5x^2}{x^5+5C_1}$ , vyšlo by
$C_1=\frac{4}{5}$ a dostal byste stejný výsledek $y = \frac{5x^2}{x^5+4}$

Tak hodně zdaru!