Matematické Fórum

MATUTOicek · 05. 05. 2014 08:59

Zdravím,
učím se na zápočet z lineární algebry, ale u vlastností tělesa je pár vlastností, u kterých si nejsem jistý jak se k nim došlo zde posílám zadání https://www.dropbox.com/s/rro614fogtcajr2/002.jpg vím jak se zjistilo jestli je distributivní a komutativní, ale za boha nemůžu přijít na to jak poznat jestli je uzavřené, neutrální prvek a inverzní prvek. Nemůže mi někdo poradit jak na to?

Děkuji

Formol · 05. 05. 2014 15:34

↑ MATUTOicek:
Ahoj,
nehledej v tom vědu, prostě vyjdeš z definice.

Uzavřenost: Prostě ukážeš, že pro každé dva prvky a,b z nosiče T a pro obě operace + a * platí:
$a + b \in T$
$a * b \in T$

Pokud máš obě operace zadány Cayleyovou tabulkou (tj. pokud je T konečné a dostatečně malé), tak stačí kouknout, že ani v jedné tabulce není prvek, který nepatří do T. Pokud je T hodně velké, tak je třeba se někdy zamyslet, ale většinou je to poměrně jednoduché.

Někdy stačí si jen prvky nějak obecně zapsat a ukýzat, že po provedení operace je vlastnost zachována. Pokud budeš mít např. strukturu (S,+,*), kde S jsou sudá celá čísla a + a * obvyklé sčítání a násobení. Protože prvky S jsou sudá čísla, můžeš si dva prvky a,b z S rozepsat a=2k, b=2m, kde k,m jsou celá čísla. Např. pro sčítání platí:
$a+b = 2k + 2m = 2(k+m)$

no a protože 2(k+m) je pro libovolné k a m sudé, je operace + uzavřená na množině S.

Jindy stačí jen provést operaci na dvou obecně zapsaných prvncích a hned vidíš, že uzavřená není. Představ si strukturu (P2[x],o), kde P2[x] je množina všech polynomů stupně nejvýše dva v proměnné x a operace o je operace skládání funkcí.
Zvolíš si a=b=x^2. Potom:
$a\circ b = (x^2)^2 = x^4 \notin P_2[x]$

tedy operace o není uzavřená na P2[x].

Neutrální prvek: Opět vyjdeš z defince. Pro neutrální prvek e a pro libovolná prvek a z nosiče musí platit:
$e \circ a = a$
a současně
$a \circ e = a$

Např. pro sudá čísla a obvyklé sčítání (S,+) platí:
a + e = a

tedy (protože všechno jsou čísla):
2k + e = 2k

a protože jsem teď v klasickém sčítání, tak:
e = 0 (a to je sudé)

Pokud máš Cayleyovu tabulku, tak totéž provedeš "vizuálně" - neutrální prvek je ten, který ve svém řádku i sloupci kopíruje druhý prvek operace (ve dvém příkladě se jako neutrální prvek chová "1".

Existence inverzního prvku: Musíš ukázat, že ke každému prvku z nosiče existuje prvek inverzní a ten že náleží do nosiče. Vyjdeš z definice inverzního prvku:
$a\circ a^{-1} = e$
a současně

$a^{-1} \circ a = e$

Tady je nejlépe si operaci rozepsat; např. u (S,+) je to:
$a + a^{-1} = e$

Dosadíš do "běžných" matematických operací:
$2k + a^{-1} = 0$

a tedy:
$a^{-1} = -2k$

(a protože to funguje zcela obecně pro všechny prvky z S, existuje ke každému prvku v S vzhledem k operaci + prvek inverzní.

Pokud máš Cayleyovu tabulku, je to jednodušší. Prostě v každém sloupci musí být jeden neutrální prvek tak šikovně, že splňuje definici (tj. např. v té tvé tabulce je "1" v sloupci "2" na řádku "3" a současně je ve sloupci "3" na řádku "2").

(víš doufám, že u těles se toto testuje extra pro každou operaci)

vanok · 05. 05. 2014 16:06

Pozdravujem ↑ Formol:,
V tomto pripade, sa zda ze ide o teleso Z/5Z, i ked to nie je jasne povedane. Preto tu sa daju ju pouzit pojmy trieda, ekvivalencia delitelnost kopatibilnost pre +, . a vlasnosti Z, ako aj struktury "quotient".
Pochopitelne, tvoj navrh je platny, i ked treba vela pisat....

Tiez na to, aby sa dala dat lepsia odpoved, treba vediet trosku viac ako nam napisal autor vlakna.

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2014 08:59

Zjištění vlastností tělesa

#2 05. 05. 2014 15:34

Re: Zjištění vlastností tělesa

#3 05. 05. 2014 16:06

Re: Zjištění vlastností tělesa

Zápatí