Matematické Fórum

dna40747 · 08. 05. 2014 11:10

Dobrý den, počítám příklad a nevím si sním rady tak prosím o pomoc.

Urči rezonanční kmitočet a proud v seriovém RLC obvodu při rezonanci, je-li odpor rezistoru $R=100$ ohmů, má li cívka indukčnost $L=0,35H$ a kapacita kondenzátoru je $C=1,2\mu f$ a napětí $U=5V$ .
Jaká by musela být kapacita kondenzátoru, aby došlo k rezonanci pri kmitočtu 1000Hz?
Při jakém kmitočtu by obvodem protékal poloviční proud než při rezonanci?

zdenek1 · 08. 05. 2014 11:19

↑ dna40747:
potřebuješ dva vztahy
pro rezonanční frkvenci $2\pi f_r=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
a pro proud $U=I\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$

je to jen dosazování

dna40747 · 09. 05. 2014 16:02

↑ zdenek1:
Skoro vše jsem vypočítal: Frekvence je 245,581 HZ a Proud je 0,05A.
Bohužel nemohu nějak přijít na poslední otázku.

Při jakém kmitočtu by obvodem protékal poloviční proud než při rezonanci?

Ferdish

↑ dna40747:
Z druhého vzorca vyjadriť $\omega$ , za prúd dosadiť polovicu toho, čo ti vyšlo v prvom príklade.

dna40747 · 09. 05. 2014 17:06

↑ Ferdish: Ano to mě také napadlo,ale nejsem to schopen uskutečnit, jelikož ve vzorci jsou dvě $\omega$ .

Tak jak udělat z dvou $\omega$ jen jedno?

zdenek1 · 09. 05. 2014 17:28

↑ dna40747:
Budeš muse spočítat kvadratickou rovnici

dna40747 · 09. 05. 2014 19:04

↑ zdenek1: Jak tedy mám vzorec převést na kvadratickou rovnici?
První krok je asi kvadratický tvar: $I\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}-U=0$ ?
Dále nevím jak pokračovat.

Nešlo by to spíše nějak vytknout
$\omega L-\frac{1}{\omega C}=\omega L-1+\omega C^{-1}=\omega (L+C^{-1})-1$
Jesli jsem to udělal dobře tak výsledek dát do vzore a už mam jen jedno $\omega$ .

zdenek1 · 09. 05. 2014 21:48

↑ dna40747:
Máš
$2\sqrt{R^2+(\omega _1L-\frac{1}{\omega _1C})^2}=\sqrt{R^2+(\omega _2L-\frac{1}{\omega _2C})^2}$
Po umocnění
$3R^2+4(\omega _1L-\frac{1}{\omega _1C})^2=(\omega _2L-\frac{1}{\omega _2C})^2$
$\sqrt{3R^2+4(\omega _1L-\frac{1}{\omega _1C})^2}=\omega _2L-\frac{1}{\omega _2C}$
Na levé straně máš číslo, protže $\omega_1$ už znáš z první otázky, takže po vynásobení $\omega_2$ máš kvadratickou rovnici.

dna40747 · 10. 05. 2014 09:28

↑ zdenek1:
$(\omega _1L-\frac{1}{\omega _1C})^2$ toto se bude rovnat vždy 0 protože obvod rezonuje.

$173,205*\omega _{2}C=\omega_{2}L*\omega _{2}C-1$ Tak nějak kvadratickou rovnici nevidím :(

zdenek1 · 10. 05. 2014 09:45

↑ dna40747:
$LC\color{red}\omega _2^2\color{black}-\sqrt3RC\color{red}\omega _2\color{black}-1=0$

Já ano.

dna40747 · 10. 05. 2014 10:52

↑ zdenek1:
$4,2*10^{-7}\color{red}\omega _2^2\color{black}-0,01897366596\color{red}\omega _2\color{black}-1=0$

Výsledek má být ta frekvence? Takže $52,6432HZ$

Já mám bohužel vytvořit také charakteristiku závislosti proudu na frekvenci od -200 do +200 po 50 Hz.
Takže budu potřebovat flexibilní vzorec kde mohu dosazovat různé frekvence a výjde mi proud.

Mě napadlo ještě jedno řešení:
$U=I\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$

$\frac{U}{I}=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$

$(\frac{U}{I})^{2}={R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$

$(\frac{U}{I})^{2}-R^{2}={(\omega L-\frac{1}{\omega C})^2}$

${\omega L-\frac{1}{\omega C}}=\frac{U}{I}-R$

$\omega L=\frac{U}{I}-R+\frac{1}{\omega C}$

Jelikož $\frac{1}{\omega C}$ jsem počítal na začátku = $540,06$

$\omega L=\frac{U}{I}-R+540,06$

$\omega =\frac{\frac{U}{I}-R+540,06}{L}$

$2\pi f=\frac{\frac{U}{I}-R+540,06}{L}$

$f=\frac{\frac{U}{I}-R+540,06}{2\pi L}$

Šlo by to i takhle nějak?