Matematické Fórum

hans66 · 11. 05. 2014 21:22 — Editoval hans66 (11. 05. 2014 21:23)

Ahoj, počítám tuto diferencialni rovnici. Postupuji takto správně? Jak mám pokračovat dál?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/36100_difrec.jpg

Jj · 12. 05. 2014 08:46

↑ hans66:

Dobrý den. Pokud zadáte rovnici k řešení MAW (Odkaz), tak Vám napíše její řešení po krocích (zkoušel jsem).

hans66 · 14. 05. 2014 21:08

↑ Jj:
Dobrý den, chtěl bych vás poprosit s radou druhé derivace. První derivaci spočítám, ale u druhé derivace se nemohu dopočitat, jde to nějak zjednodušit? derivaci pak mam na několik řádku.. Jak to tedy co nejefektivněji zderivovat?
Děkuji za radu :-)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/94410_derivace.jpg

Jj · 15. 05. 2014 12:35

↑ hans66:

Tak tady Vám neporadím. Co jsem kdy zkoušel, tak to stejně vedlo k zamotaným výsledkům.
Podle mne jen ostrá tužka a pozornost.

Ale třeba ještě někdo zkušenější poradí.

hans66 · 17. 05. 2014 20:49

↑ Jj:

Dobrý den, ješte bych se vás chtěl zeptat, jak zjistim $m$ násobnost kořene? a ještě mi není jasné co je $n$

děkuji za radu

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-05/52515_123.jpg

Jj · 17. 05. 2014 22:07 — Editoval Jj (17. 05. 2014 22:10)

↑ hans66:

Taky zdravím.

a)
m - násobný kořen znamená, že příslušná rovnice má kromě jednoduchých kořenů ještě
'm' shodných kořenů.

Např. kvadratická rovnice $x^2 + 2x + 1 = 0$ má dvojnásobný kořen x = -1. Dá se rozložit na tvar
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)(x+1) = 0$ , takže se může rovnat 0 první nebo druhá závorka. Odtud vyjdou
dva stejné kořeny.

Např. rovnice $x^4-2x^2+1=(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)=(x+1)(x+1)(x-1)(x-1)=0$
má dva dvojnásobné kořeny, a to x = -1 a x = 1.

Rovnice $x^3+x^2-x-1 = (x+1)(x^2-1)=(x+1)(x+1)(x-1) = 0$ má dvojnásobný kořen x = -1 a
jednoduchý kořen x = 1.

a tak podobně.

Obdobně v případě imaginárních kořenů. Rovnice
$x^4-2 x^3+3 x^2-2 x+2$ má 4 jednoduché kořeny x12 = +- i, x34 = 1 +- i
a dá se rozepsat na součin kořenových činitelů (x+i)(x-i)(x-1+i)(x-1-i) = 0

Kořeny x12, x34 jsou komplexně sdružené, ne dvojnásobné (má-li algebraická rovnice s reálnými
koeficienty kořen 'a+bi', má vždy také komplexně sdružený kořen 'a-bi', to se však mezi násobné
kořeny nepočítá).

Např. rovnice
$x^6-2 x^5+3 x^4-4 x^3+3 x^2-2 x+1=(x+i)^2(x-i)^2(x-1)^2=0$

Má dvojnásobný kořen x = i, současně dvojnásobný komplexně sdružený kořen x = -i
a dvojnásobný reálný kořen x = 1.

Takže určit násobnost kořenů u vyřešené rovnice není až takový problém (obvykle je problém
tyto kořeny vypočítat). V každém případě musí mít rovnice celkem tolik kořenů, kolikátého
je stupně (počet kořenů včetně zahrnutí jejich násobnosti).

b)

To už bude jednodušší - konstanta 'n' zřejmě (pokud se dobře dívám) značí stupeň polynomu na pravé
straně diferenciální rovnice:

Např.:

y'' + y' + y = x^3 + 5 n = 3

y'' + y' + y = 5e^3 n = 0

y'' + y' + y = x + 5 n = 1

y''+y'+y=(5x^5-2x^3)sinx n = 5

a pod. To by asi nemělo dělat problém.

hans66 · 18. 05. 2014 10:05 — Editoval hans66 (18. 05. 2014 10:33)

↑ Jj: děkuji za odpověď, já už jsem asi hloupej...

když tedy mam:

$y ^{2}-2y+10=0$

$D=-36$

$\lambda _{1}=1+3i ; \lambda _{2}=1-3i$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$y^{2}-2y+10\Rightarrow (y-1)^{2}+9$ tak to bude podle tohoto jednonásobný kořen?

Jj · 18. 05. 2014 10:32

↑ hans66:

Přesněji, jde o dva různé jednonásobné kořeny (nerovnají se, to, že jsou komplexně sdružené pro určení násobnosti kořenů nehraje roli).

Součin kořenových činitelů by byl
$y^{2}-2y+10=(y-(1+3 i))(y-(1-3 i))$

hans66 · 20. 05. 2014 21:44

↑ Jj: děkuji

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2014 21:22 — Editoval hans66 (11. 05. 2014 21:23)

diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#2 12. 05. 2014 08:46

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#3 14. 05. 2014 21:08

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#4 15. 05. 2014 12:35

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#5 17. 05. 2014 20:49

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#6 17. 05. 2014 22:07 — Editoval Jj (17. 05. 2014 22:10)

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#7 18. 05. 2014 10:05 — Editoval hans66 (18. 05. 2014 10:33)

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#8 18. 05. 2014 10:32

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

#9 20. 05. 2014 21:44

Re: diferencialni rovnice se specialni pravou stranou: e^x*sin(3x)

Zápatí