Matematické Fórum

Jakub1 · 14. 05. 2014 23:34

Dobrý večer, mám takýto príklad:

Uvažujme teleso, ktoré sa pohybuje vo veľkej vzdialenosti od Marsu rýchlosťou $v=15 km/s$ pozdĺž priamky, ktorej vzdialenosť od stredu planéty je $d$ . Určte najväčšiu hodnotu $d$ , pre ktorú dopadne teleso na povrch Marsu.

Mars má hmotnosť $M$ , uvažujeme o guli s polomerom $R$ . Gravitačná konštanta je $G$ .

Môj postup:
Pre teleso, ktoré dopadne na povrch Marsu platí ZZME:
$E_p+E_k=E_P+W$

$E_p$ – potenciálna energia telesa vo výške $d$
$E_p=\frac{GMm}{d}$

$E_k$ – kinetická energia telesa
$E_k=\frac{1}{2}mv^{2}$

$E_P$ – potenciálna energia telesa, ktoré dopadlo na Mars
$E_P=\frac{GMm}{R}$

$W$ – práca potrebná na presun telesa z výšky $d$ do výšky $d-h$ .
$W=\int_{d-R}^{d}\frac{GMm}{x^{2}}dx$

Po vyriešení rovnice dostávam, že $d<R$ , resp. $d\approx R$ , čo je zrejme z fyzikálneho hľadiska nemysliteľné. Môžete mi, prosím, poradiť, kde robím chybu?

Brzls · 15. 05. 2014 16:08 — Editoval Brzls (15. 05. 2014 18:10)

Čau

Sice mi není jasné k čemu přesně tvoje řešení povede (jakože já bych to řešil jinak a ted nemám bohužel čas to řešení projít důkladně), ale tvoje formulace ZZME je špatná.

Nezapomínej, že při dopadu (resp. těsně před dopadem) má tvoje těleso ještě pořád nějakou kinetickou energii, ta ti z tvé rovnice nějak zmizela. A po nárazu, kdy už žádnou nemá už ZZME neplatí takže to taky nepomůže.

Edit:
To by ti vlastně taky nepomohlo, tím by ti vypadla ta práce. Tak či tak ta rovnost o kterou si se snažil je taky k ničemu, neboť správně by si dostal

$E_{p}-E_{P}=W$
Ta je ale splněna trivíálně takže tudy cesta nevede.

Pokud to je práce na doma, tak můžeš využít vyjádření trajektorie v polárních souřadnicích
$r=\frac{p}{1+\varepsilon cos\varphi }$ (vyjádření kuželosečky)

kde parametry p a epsilon záleží na počátečním stavu. Pokud je to nějaká úloha z písemky či soutěže tak to taky nepomůže, neboť odvození či zapamatování vyjádření p a epsilon je poměrně komplikované na zapamatování.
Tedy zkus nějak upřesnit tvojí myšlenku (ale jak říkám takhle to podle mě nepude) nebo můžeme zkusit rozebrat můj návrh

Jakub1 · 15. 05. 2014 19:27 — Editoval Jakub1 (15. 05. 2014 19:28)

Ja som samozrejme za rozobratie každého návrhu, ktorý povedie k riešeniu.

Len si potrebujeme ujasniť pár základných predpokladov, ktoré neviem, či si vykladám správne:

1.) Teleso – Mars vzájomne pôsobia silami $F_g=G\frac{Mm}{d^{2}}$ .
2.) Intenzita gravitačného poľa Marsu v ľubovoľnom mieste je $\vec K=G\frac{M}{x^{2}} \frac{\vec x}{x}$ .
3.) To ale znamená, že $\vec F_g=\vec 0$ pre $x \rightarrow \infty$ .
4.) Aké sily pôsobia na samotné teleso (uvažujeme, že Mars a teleso je izolovaná sústava)? Každopádne $\vec F_g$ , ale ak sa má pohybovať priamočiaro rovnomerne, potom musí platiť $\Sigma \vec F=\vec 0$ .

Brzls · 15. 05. 2014 21:24 — Editoval Brzls (15. 05. 2014 22:46)

Ano je to tak

Uvažujeme že Mars a těleso jsou izolovaná soustava. Ale nikde není dáno že se má pohybovat přímočaře.

Ale myslím že jsem vymyslel podstatně lepší postup než ten původní co jsem navrhoval (oni jsou víceméně stejné, ale ten druhý je názornější podle mě). Zkus to takhle

Během pohybu se zachovávají dvě veličiny. Jednak Mechanická enegie a jaká ta druhá?? (moment hybnosti)

Jaký je počáteční moment hybnosti?
Jaká je počáteční energie?

Když si nakreslíš kuželosečku, a označíš si minimální vzdálenost během tohoto pohybu r(min), tak jak v tomto bodě určíš moment hybosti? (budeš tam mít neznámou rychlost a neznámou tu r(min))

Jak v tomto bodě určíš celkovou energii? (budeš tam mít neznámou rychlost a neznámou tu r(min))

No a tobě jde o to, aby tato minimální vzdálenost r(min) byla ALESPOŇ rovna poloměru Marsu.

Z toho už si schopen určit maximální vzdálenost d. Je to jasné? povedlo se?

Matematické Fórum

#1 14. 05. 2014 23:34

Gravitačné pole

#2 15. 05. 2014 16:08 — Editoval Brzls (15. 05. 2014 18:10)

Re: Gravitačné pole

#3 15. 05. 2014 19:27 — Editoval Jakub1 (15. 05. 2014 19:28)

Re: Gravitačné pole

#4 15. 05. 2014 21:24 — Editoval Brzls (15. 05. 2014 22:46)

Re: Gravitačné pole

Zápatí