Matematické Fórum

maver · 19. 05. 2014 18:54

Prosím o vysvětlení rozdílu výpočtu v těchto dvou podobných případech:

Případ 1:
Je 30 výrobků, 3 jsou vadné. Vybíráme 5 ks, jaká je pravděpodobnost, že bude MAX. 1 vadný.

Případ 2:
Je 30 výrobků, 3 jsou vadné. Vybíráme 5 ks, jaká je pravděpodobnost, že bude ALESPOŇ 1 vadný.

Děkuji.

gadgetka · 19. 05. 2014 19:53

Ahoj, maximálně jeden vadný znamená, že buď není žádný výrobek vadný nebo jeden je vadný; alespoň jeden vadný znamená že vadný je jeden výrobek nebo 2 nebo tři.

maver · 19. 05. 2014 20:16

↑ gadgetka:

no ano, tahle část je mi jasná ;).

Ale mám obecně problém sestavit výpočetní algoritmus. Ten jeden případ je z učebnice a ten druhý záměrně mnou zaměněný, abych viděla, jaký je rozdíl v sestavování postupu výpočtu.

Oxyd · 19. 05. 2014 21:16

První příklad: Celkem je $\binom{30}{5}$ možností, jak vybrat pět výrobků. Vybrat pět bezvadných výrobků jde $\binom{27}{5}$ způsoby (protože máš celkem 27 bezvadných). Vybrat právě jeden vadný výrobek můžeš tak, že vybereš jeden z těch tří vadných (3 způsoby) a k němu čtyři bezvadné ( $\binom{27}{4}$ způsobů). Dohromady je P(max 1 vadný) = P(žádný vadný) + P(právě jeden vadný) = $\frac{\binom{27}{5}}{\binom{30}{5}} + \frac{3 \cdot \binom{27}{4}}{\binom{30}{5}}$ .

Druhý příklad: P(aspoň jeden vadný) = 1 - P(žádný vadný) = $1 - \frac{\binom{27}{5}}{\binom{30}{5}}$ .

maver · 19. 05. 2014 23:54

↑ Oxyd:

Takže se předpokládá, že všechny správné výrobky + alespoň jeden vadný = 1

V druhém případě jsi řešil pravděpodobnost doplňkem proto, že by vypisování "alespoň jeden vadný výrobek" bylo zbytečně složité (podmínka graduje: buď jeden nebo dva nebo tři vadné výrobky)?

Jak by to ale vypadalo, kdybychom nepoužili doplňku, ale analogického postupu, jako v prvním případě?

Oxyd · 20. 05. 2014 00:03

maver napsal(a):
↑ Oxyd:

Takže se předpokládá, že všechny správné výrobky + alespoň jeden vadný = 1

No, ano. Logicky jsou to přece doplňky – ať vybereš jakýchkoliv pět výrobků, buď tam nebude žádný vadný nebo tam nějaký vadný bude – nic jiného se stát nemůže.

V druhém případě jsi řešil pravděpodobnost doplňkem proto, že by vypisování "alespoň jeden vadný výrobek" bylo zbytečně složité (podmínka graduje: buď jeden nebo dva nebo tři vadné výrobky)?

Jak by to ale vypadalo, kdybychom nepoužili doplňku, ale analogického postupu, jako v prvním případě?

Ano, bylo by toho hodně na vypisování. Když to chceš počítat analogicky, můžeš počítat P(aspoň jeden vadný) = P(právě jeden vadný) + P(právě dva vadné) + P(právě tři vadné). Tohle ti stačí, protože víš, že vadné jsou jenom tři výrobky, tedy P(právě čtyři vadné) = 0, protože ze tří špatných výrobků nemůžeš vybrat čtyři špatné. Podobně P(právě pět vadných) = 0, atd.

maver · 20. 05. 2014 00:08 — Editoval maver (20. 05. 2014 00:14)

Alternativně Druhý případ????????

jeden vadný = $\frac{\binom{27}{5}}{\binom{30}{5}} + \frac{\binom{27}{4}}{\binom{30}{5}}$

dva vadné = $\frac{\binom{27}{5}}{\binom{30}{5}} + \frac{\binom{27}{3}}{\binom{30}{5}}$

tři vadné = $\frac{\binom{27}{5}}{\binom{30}{5}} + \frac{\binom{27}{2}}{\binom{30}{5}}$

ANEBO ---------------------------------------------------------

alespoň 1 vadný = $\frac{\binom{27}{5}}{\binom{30}{5}} + \frac{\binom{27}{4}}{\binom{30}{5}} + \frac{\binom{27}{3}}{\binom{30}{5}} + \frac{\binom{27}{2}}{\binom{30}{5}}$

Oxyd · 20. 05. 2014 00:51

To se mi moc nezdá. Tím „jeden vadný“ myslíš „právě jeden vadný“ nebo „nejvýš jeden vadný“?

Ať tak či onak, máš to špatně. Vybrat právě jeden vadný výrobek a čtyři bezvadné jde $3 \cdot \binom{27}{4}$ způsoby. Vybrat právě dva vadné a tři bezvadné jde $3 \cdot \binom{27}{3}$ způsoby. Vybrat právě tři vadné a dva bezvadné jde $1 \cdot \binom{27}{2}$ způsoby, to tam máš správně.

maver · 20. 05. 2014 09:04

↑ Oxyd:

Vracím se ke tvé větě: "P(aspoň jeden vadný) = P(právě jeden vadný) + P(právě dva vadné) + P(právě tři vadné)." Tomu rozumím. Ale pak jsi napsal, jen 1x možnost právě 3 vadné.

Dalo by se pochopit: 3x P(právě jeden vadný), 3x P(právě dva vadné) a 3 x P(právě tři vadné).
Nebo by se dalo pochopit: 3x P(právě jeden vadný), 2x P(právě dva vadné) a 1 x P(právě tři vadné).

Ale 3x 3x 1x nechápu.

gadgetka

To není třikrát ve významu třikrát, ale ${3\choose 1}$ a ${3\choose 2}$ ... ;)
Vybíráš 1 výrobek ze tří vadných, dva výrobky ze tří vadných a v poslední řadě tři výrobky ze třech vadných, což je ${3\choose 3}$ ... a to je ta jednička... ;)

maver · 20. 05. 2014 15:15

↑ gadgetka:

Děkuji moc oběma, nyní je mi toto jasné.

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2014 18:54

Pravděpodobnost

#2 19. 05. 2014 19:53

Re: Pravděpodobnost

#3 19. 05. 2014 20:16

Re: Pravděpodobnost

#4 19. 05. 2014 21:16

Re: Pravděpodobnost

#5 19. 05. 2014 23:54

Re: Pravděpodobnost

#6 20. 05. 2014 00:03

Re: Pravděpodobnost

maver napsal(a):

#7 20. 05. 2014 00:08 — Editoval maver (20. 05. 2014 00:14)

Re: Pravděpodobnost

#8 20. 05. 2014 00:51

Re: Pravděpodobnost

#9 20. 05. 2014 09:04

Re: Pravděpodobnost

#10 20. 05. 2014 11:17 — Editoval gadgetka (20. 05. 2014 11:19)

Re: Pravděpodobnost

#11 20. 05. 2014 15:15

Re: Pravděpodobnost

Zápatí