Matematické Fórum

Joseph · 10. 12. 2007 22:01

Zdravím mám problém s příkladem. Zadání zní:

Předpokládám, že je to křivkový integrál 1. druhu a proto:

Když pak dosadím do vzorce křivkového integrálu 1. druhu, tak dostanu:

a tady jsem skončil a nevím jak dál. Zřejmě tam bude substituce za to co je pod odmocninou, ale nejsem schopný to vypočítat. Budu rád, když mi někdo pomůže.

Marian · 10. 12. 2007 22:24 — Editoval Marian (11. 12. 2007 10:52)

U toho posledniho integralu si to rozdel na dva integraly takto:

$\int_{1}^{2}x^3\sqrt{1+(3x^2)^2}dx-\int_{1}^{2}x\sqrt{1+(3x^2)^2}dx$ .

Provede se substituce $3x^2=u\,\,\Rightarrow\,\, x\, dx=\frac{du}{6}$ . Proto bude

$\frac{1}{18}\int u\sqrt{1+u^2}du -\frac{1}{3}\int\sqrt{1+u^2}du$ .

Tady si uz budes jste vedet rady, navic si musis doplnit meze. U prvniho to bude celkem jednoducha susbtituce a u druheho je moynosti vice. Tam to tak snadne nebude. Funguji treba Eulerovy substituce. Vysledek bude velice nehezky.

Uvedeny postup je pouze jeden z pravdepodobne vice moznych.

robert.marik

Záleží co se učíte. U nás třeba učíme ten druhý integrál počítat ostrogradského metodou , která funguje pro integrály $\int \frac{polynom}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$

Existují reálná čísla a, b, k taková, že

$\int\sqrt{1+x^2}dx=\int\frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}}dx= (ax+b)\sqrt{x^2+1}+k\int\frac 1{\sqrt{x^2+1}}dx$

Zderivovanim mame
$\sqrt{1+x^2}=a\sqrt{x^2+1}+(ax+b)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+k\frac 1{\sqrt{x^2+1}}$

po vynasobeni odmocninou to prejde na rovnost mezi dvema polynomy a pokud ma plati pro vsechna x tak koeficienty u odpovidajicih si mocnin jsou stejne (podobne se to dela treba u rozkladu na parcialni zlomky)

A $\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx$ asi mate jako vzorec.

Az ted jsem si vsiml ze jsem to mel psat spis v promenne $u$ ,ale snad to nikoho nesplete .....

robert.marik

Marianovi chybi pod tou odmocninou mocnina, ma tam byt $1+(3x^2)^2$ , ale to je jenom preklep.

A integral $\int x^3 \sqrt{1+9x^4}dx$ se da udelat jednou substituci $x^4=t$ nebo nejak podobne (napr $1+9x^4=t$ nebo $t^2$ )

Marian · 11. 12. 2007 10:53 — Editoval Marian (11. 12. 2007 12:33)

Dekuju za upozorneni. Jiz opraveno!

Joseph · 17. 12. 2007 14:25

Díky za rady. Zeptal jsem se ještě přednášejícího na postup od tohoto integrálu:

mám použít substituci pro každý integrál zvláš? a to následující:

po dosazení tedy vyjde:

první integrál je už jednoduchý, po integraci vyjde (t^3)/3, dosadím meze a nějak to dopočítám, ale u druhého:
prý existuje integrační vzorec a mám si ho vyhledat. Našel jsem jen řešení pomocí substituce a to:

po dosazení a úpravě to má být:

a dál si opět nevím rady. Takže bych vás poprosil o kontrolu, jestli je to správně a případně jak pokračovat v integraci 1/(cos^3 z).

andrew · 17. 12. 2007 14:49 — Editoval andrew (17. 12. 2007 15:17)

2Joseph: u integralu $\int \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u$ pouzij substituci $u = \sinh v$ a pote ti vyjde $\int \cosh^2 v\,\mathrm{d}v$ a to uz je easy, ne? :)

Ten integral s tim cosinusem na treti bych pocital takto (tusim, ze p. Marik to tu jiz nekde na foru u nejakeho jineho prikladu psal): $\int \frac{1}{\cos^3z}\,\mathrm{d}z =\int \frac{\cos z }{\cos^4z}\,\mathrm{d}z = \int \frac{\cos z }{(1-sin^2z)^2}\,\mathrm{d}z$ , sub $s = \sin z$ $\int \frac{1}{(1-s^2)^2}\,\mathrm{d}z$
No a pak jedine rozklad na parcialni zlomky, coz se mi zda trochu vice namahave nez ta substituce s tim hyp. sinem :)

Joseph · 17. 12. 2007 16:17

andrew napsal(a):
pouzij substituci $u = \sinh v$ a pote ti vyjde $\int \cosh^2 v\,\mathrm{d}v$ a to uz je easy, ne? :)

Easy? To ani ne, protože si nevzpomínám, že bych se někdy setkal s hyp. sinem nebo hyp. cosinem :)

andrew · 17. 12. 2007 16:26 — Editoval andrew (17. 12. 2007 16:58)

2Joseph: fakt ne? Its impossible. :) Nevadi, krapet to rozepisu.

Hyperbolicke fce se daji pekne prepsat pomoci exponenciel, konkretne takto
$\sinh x = \frac{\mathrm{e}^x - \mathrm{e}^{-x}}{2}$
$\cosh x = \frac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}$

Dale pro hyp. siny a cosiny v kvadratu existuje vzorec (neco jako pro sinus a cosinus)
$\cosh^2 x - \sinh^2 x =1$ (vice vzorcu najdes zde).

Takze v nasem pripade delame substituci $u = \sinh v,\, \mathrm{d}u = \cosh v\, \mathrm{d}v$ a nyni kdyz dosadime + vzpomeneme si na predchozi vzorec, tak mame

$\int \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u = \int \sqrt{1+\sinh^2 v}\,\cosh v \,\mathrm{d}v = \int \sqrt{\cosh^2 v}\,\cosh v \,\mathrm{d}v = \int \cosh^2 v\,\mathrm{d}v\,$

No a ted to lze resit bud per partes a nebo si ten hyp. cosinus muzes rozepsat pomoci tech exp. Kazdopadne by ti to melo vyjit

$\int \cosh^2 v\,\mathrm{d}v = \frac{1}{4}\big(2x + \sinh(2x)\big) +C$