Matematické Fórum

MaxDJs · 24. 05. 2014 14:31

Mohl by mi někdo poradit jak postupovat u tohoto příkladu

$x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$

napadlo mě jen upravit rovnici takto

$2x = e^{2y}$

ale nejsem si vůbec jistej jestli na to jdu dobře

gadgetka · 24. 05. 2014 14:34

Ahoj, když už úprava, tak:
$2x=\frac{e^{2y}-1}{e^y}$

O co jde? O inverzní funkci?

MaxDJs · 24. 05. 2014 14:37

Jsem zapomněl napsat zadání. Máme vypočítat y z rovnice

gadgetka

Snad takto:
$2xe^y=e^{2y}-1$
$e^{2y}-2xe^y-1=0$
$s:\enspace e^y=a$

$a^2-2xa-1=0$
Vyřešíš a kořeny položíš zpět rovny substituci a mělo by ti vyjít:

$e^y=x\pm \sqrt{x^2+1}\Rightarrow y=\ln({x\pm \sqrt{x^2+1}})$

JirkaV · 24. 05. 2014 15:09

↑ gadgetka:
Určíte tak :-)

MaxDJs · 24. 05. 2014 15:09

výsledek sedí

$2x=\frac{e^{2y}-1}{e^y}$

A jaký je princip této úpravy? Proč to nestačí vynásobit 2?

$e^y=x\pm \sqrt{x^2+1}\Rightarrow y=\ln({x\pm \sqrt{x^2+1}})$

Jak jsi (jakou úpravou) z toho zápisu $e^y=x\pm \sqrt{x^2+1}$ dostala to y?

JirkaV · 24. 05. 2014 15:11

↑ MaxDJs:
y dostala pomocí zlogaritmovani

gadgetka

První krok je v úpravě podle pravidel počítání s mocninami, tedy:
$x = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$
$2x=e^y-\frac{1}{e^y}$

Pravou stranu sečteme:
$2x=\frac{e^{2y}-1}{e^y}$

Vynásobíme jmenovatelem a vše převedeme na jednu stranu:
$e^{2y}-2xe^y-1=0$

Zavedeme substituci:
$s:\enspace e^y=a$

Vyřešíme kvadratickou rovnici:
$a^2-2xa-1=0$
$a_{1,2}=\frac{2x\pm2\sqrt{x^2+1}}{2}=x\pm \sqrt{x^2+1}$

Vrátíme se k substituci:
$e^y=x\pm \sqrt{x^2+1}$

A nakonec zlogaritmujeme pomocí pravidel počítání s logaritmy a využití toho, že exponenciální funkce je inverzní k logaritmické (a naopak):
e je základ přirozeného logaritmu. Platí:
$\ln_e{x}=y\Rightarrow e^y=x$

MaxDJs · 24. 05. 2014 17:27

$x = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$

$x(e^y + e^{-y}) = e^y - e^{-y}$

$x(e^y + e^{-y}) = e^y - \frac{1}{e^{y}}$

$x(e^y + e^{-y}) = \frac{e^{2y} - 1}{e^y}$

$x(e^y + e^{-y})e^y = e^{2y} - 1$

$(xe^y + xe^{-y})e^y = e^{2y} - 1$

$xe^{2y} + xe^0 = e^{2y} - 1$

$s: e^y = a$

$xa^2 + x = a^2 - 1$

postupuji dobře?

gadgetka

Až na ten konec... ale došel bys k tomu i s tou tvojí substitucí, jen je to zbytečné. :)
$xe^{2y} + xe^0 = e^{2y} - 1$
$1+x = e^{2y} - xe^{2y}$
$e^{2y}(1-x)=1+x$
$e^{2y}=\frac{1+x}{1-x}$
$\ln{\frac{1+x}{1-x}}=2y\Rightarrow y=\frac 12\ln{\frac{1+x}{1-x}}\Rightarrow y= \ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

MaxDJs · 24. 05. 2014 17:37

Díky moc za rady

Matematické Fórum

#1 24. 05. 2014 14:31

Exponenciální rovnice

#2 24. 05. 2014 14:34

Re: Exponenciální rovnice

#3 24. 05. 2014 14:37

Re: Exponenciální rovnice

#4 24. 05. 2014 15:03 — Editoval gadgetka (24. 05. 2014 15:04)

Re: Exponenciální rovnice

#5 24. 05. 2014 15:09

Re: Exponenciální rovnice

#6 24. 05. 2014 15:09

Re: Exponenciální rovnice

#7 24. 05. 2014 15:11

Re: Exponenciální rovnice

#8 24. 05. 2014 15:18 — Editoval gadgetka (24. 05. 2014 15:19)

Re: Exponenciální rovnice

#9 24. 05. 2014 17:27

Re: Exponenciální rovnice

#10 24. 05. 2014 17:35 — Editoval gadgetka (24. 05. 2014 17:37)

Re: Exponenciální rovnice

#11 24. 05. 2014 17:37

Re: Exponenciální rovnice

Zápatí