Matematické Fórum

Sajmon9114 · 26. 05. 2014 13:30

Ahoj, potřeboval bych poradit s následující diferenciální rovnicí:
$y'=\frac{y}{x}+\frac{x^2+y^2}{x^2 \cdot \text{arctg}\frac{y}{x}}$ . Použil jsem substituci $z=\frac{y}{x}$ a došel jsem k tomuto: $z'=\frac{1}{x} \cdot \left( {\frac{z^2}{\text{arctg}z}} \right)$ , tedy po vydělení máme $z' \cdot \left( {\frac{\text{arctg}z}{z^2}} \right)=\frac{1}{x}$ . Po integraci obou stran a určení definičního oboru pro $x$ jako $x\in \left( {-\mathrm{e}^{-c},0} \right)$ , resp. $x\in \left( {0,\mathrm{e}^{-c}} \right)$ mi vyšlo toto:
$\frac{-\text{arctg}z}{z}+\ln \frac{|z|}{\sqrt{z^2+1}}=\ln |x|+c$ . Teď ale nemám ponětí, jak z této rovnice vyjádřit $z$ , abych se mohl následně vrátit k $y$ . Ještě doplním, že se měla určit všechna maximální řešení dané rovnice, která splňují $y(-1)=\sqrt{3}$ . Dalo by se patrně vypočítat $c$ , ale stejně bych pak měl problém vyjádřit $y$ . Předem díky za pomoc!

jelena · 26. 05. 2014 14:38

Zdravím,

není problém, že při úpravě a dosazování vypadla 1 $\frac{x^2+y^2}{x^2 \cdot \text{arctg}\frac{y}{x}}$ má být nahrazeno $\left( {\frac{1+z^2}{\text{arctg}z}} \right)$ . Potom by výsledek měl být jednodušší? Je tak? Děkuji.

Sajmon9114 · 26. 05. 2014 14:40

↑ jelena:
No jasně, moje klasická chyba :D Díky za pomoc :)

jelena · 26. 05. 2014 14:42

↑ Sajmon9114:

nemáš za co, máš ukázkové zpracování úvodního příspěvku, také děkuji.

Matematické Fórum

#1 26. 05. 2014 13:30

Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

#2 26. 05. 2014 14:38

Re: Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

#3 26. 05. 2014 14:40

Re: Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

#4 26. 05. 2014 14:42

Re: Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými

Zápatí