Matematické Fórum

Sherlock · 28. 05. 2014 19:07

Pořád zápasím s vytvořením T. polynomu pro funkci $y+\cos y-x=0$

Podle všeho první derivace vyjde: $F'(x,y)=\frac{1}{1-\sin y}$ a druhá $0$ a třetí taky $0$ nebo není definovaná, nejsem si jist.

K mé funkci tedy existuje Taylorův polynom stupně nejvýš 2.

Řekněme že jej chci zvolit v nějakém rozumném okolí, třeba obecně v $[m+\cos m,m]$

Potom $F(m+\cos m,m)=0$
$F'(m+\cos m,m)=\frac{1}{1-\sin m}$
$F''(m+\cos m,m)=0$

Po dosazení do vzorce pro T.P. dostanu $T=\frac{x-m}{1-\sin m}$

Je to ale ohromně nepřesná aproximace, tak se ptám, neudělal jsem někde chybu?

Jj · 28. 05. 2014 19:21

↑ Sherlock:

Dobrý večer. Řekl bych, že pokud $y'=\frac{1}{1-\sin y}$ , pak zřejmě podle pravidla derivace zlomku bude
$y''=\frac{1}{1-\sin y}=\frac{0\cdot (1-\sin y) - 1\cdot(-\cos y\cdot y')}{(1-\sin y)^2}=\cdots$

atp. další derivace.

Sherlock

↑ Jj:

Zdravím, děkuji za příspěvek. Je to na mě trochu složité, další postupy se tu pokusím shrnout:

Pro naši funkci platí dvojice podmínek:
$y(x)=y$
$y+\cos y=x$

Její derivace je: $y'(x)=\frac{1}{1-\sin (y(x))}$

Druhá derivace: $y''=\frac{\cos (y(x))\cdot y'(x)}{(1-\sin (y(x)))^{2}}=\frac{\cos (y(x))}{(1-\sin (y(x)))^{3}}$

Taylorův polynom volím obecně v "pěkném" bodě $m+\cos m$ , jelikož $y(m+\cos m)=m$
Dále: $y'(m+\cos m)=\frac{1}{1-\sin (m)}$
$y''(m+\cos m)=\frac{\cos m}{(1-\sin m)^{3}}$

T.P. bude vypadat:
$T_{3}=m+(x-m-\cos m)\frac{1}{1-\sin m}+(x-m-\cos m)^{2}\frac{\cos m}{(1-\sin m)^{3}}$

Je to tak?

Jj · 29. 05. 2014 09:59

↑ Sherlock:

Ten "pěkný" bod je nějak nad mé možnosti chápání. Takže těžko mohu tvrdit, že tak nelze, ale řekl bych,
že je třeba pro konkrétní hodnotu x='m' (střed rozvoje) numericky spočítat y(m) a tuto (konkrétní) hodnotu dále použít.

Rumburak

↑ Sherlock:

Ahoj.

Pořád zápasím s vytvořením T. polynomu ...

Připadá mi, že zápasíš i s přesností v matematickém vyjadřování :-)
(neber to jako buzeraci, ale snahu Ti pomoci).

Zejména:

1)

...pro funkci $y+\cos y-x=0$

,

ale $y+\cos y-x=0$ je rovnice a nikoliv funkce .

2)

Podle všeho první derivace vyjde: $F'(x,y)=\frac{1}{1-\sin y}$

Jak je zavedena funkce F ?
Ma-li to být funkce dvou proměnných, jak naznačuje zápis, potom podle které proměnné se derivuje ?

Sherlock

↑ Jj:

body $[m+\cos m,m]$ jsem volil proto, že jsou v rámci naší funkce lehce vyčíslitelné.
Jelikož platí $f(m+\cos m)=m$ , jsem schopný zjistit T. rozvoj v každém bodě $m+\cos m$

Jestli bych měl zvolit T. rozvoj funkce v bodě $0$ , neznám $f(0)$ .. ale pomocí hrubého odhadu můžu s $[m+\cos m,m]$ najít číslo, které je nějak okolo nuly. Což v rámci T. řady nebude mít na odchylku až takový vliv.

Rumburak napsal(a):
↑ Sherlock:(neber to jako buzeraci, ale snahu Ti pomoci).

Jsem rád za každou připomínku/výtku, tahle látka přesahuje SŠ učivo takže si v ní nejsem až tak jistý :)

Vycházím především z tohotomateriálu.

Hlavně pak z definice $M=\{[x,y]\in D_{f}|F(x,y)=0\}$

$F(x,y)=0$ je tedy předpis implicitně zadané funkce. V našem případě to je rovnice $y+\cos y-x=0$

Při první derivaci jsem využil věty o derivace implicitně zadané funkce.

Druhá derivace (viz Jj) už je klasická derivace podle x funkcí y.

Xellos · 29. 05. 2014 15:43

↑ Sherlock:

Implicitna funkcia znamena ze existuje funkcia $y(x)$ splnujuca dajaku rovnicu, nie ze sa magicky vytvori funkcia $F(x,y)$ .

Vies zderivovat tak akurat inverznu funkciu, mozno nie vo vsetkych bodoch. Potom mozes vyuzit veci ako spomenute tu na zratanie druhej derivacie inverznej funkcie. Ak si masochista, mozes to skusit pouzit na vyssie derivacie. Ale furt to velmi nepomaha, lebo kazda derivacia je zadana len implicitne cez $y$ , nie $x$ ...

Rumburak · 29. 05. 2014 17:28

↑ Sherlock:

A má jít o implicitní funkci $y = y(x)$ , nebo $x = x(y)$ ?
Druhá možnost je samozřejmě triviální, takže lze usuzovat, že půjde o možnost prvou.
Ale mohu Tě ujistit, že najít T.R. k této I.F. $y = y(x)$ není snadnou úlohou ani pro vysokoškoláka,
klidně by to mohlo patřit do kategorie pokročilých úloh.

Sherlock

↑ Rumburak:

Zdravím, já mám právě dojem že jsem ho již našel. Zkoušel jsem vytvořit graf mnou vytvořeného Taylorova polynomu, a celkem věrně aproximoval původní funkci v daném okolí. Moje postupy jsou shrnuty v mém druhém příspěvku tady v tématu. Bohužel jsou (jak jste zmínil vy a Xellos) nepříliš srozumitelné pro všechny ostatní :-)
Myslím že tuhle problematiku můžeme už uzavřít.

---

Tahle funkce prapůvodně vznikla proto, že jsem chtěl nějak řešit rovnici:
$\cos (x+\cos (x+\cos (x+...)))=A$

Skutečně se "nějak" pomocí mojí funkce řešit dá. Bohužel, jak jsem záhy zjistil, stejně se nedá hned vyřešit s Taylorovým polynomem mojí funkce a je nutná ještě nějaká aproximační metoda. Což je v praxi téměr k ničemu. Viz úprava:

$y=\cos (x+\cos (x+\cos (x+...)))$
$y=\cos (x+y)$
$\cos (x+y)-y=0$
$\cos (-x-y)-x-y=-x$

Nyní se využije definice mojí funkce, která je tedy definovaná jako $M(x)+\cos (M(x))=x$ , dostaneme:
$M(-x)=-x-y$
$y=-x-M(-x)$

No a teď je potřeba ta metoda těčen :D

Rumburak

↑ Sherlock:

Ahoj,

řekl bych, že se v tom vyjadřování matamatických myšlenek rychle lepšíš :-) .

Na Tvoji úlohu lze pohlédnout ještě jinak.

Především je potřeba nějak pojmout otázku definice symbolu $\cos (x+\cos (x+\cos (x+...)))$ .
I když ji intuitivně cítíme, zatím tento symbol matematicky korektní není, protože se pohybujeme v kruhu:
Aby bylo definováno $\cos (x+H(x))$ , musí být nejprve definováno $H(x)$ , avšak to v našem případě
definováno není, předpokádáme-li, že má hodnotu $\cos (x+H(x))$ .
Co ale můžeme, je hledat funkci $H(x)$ splňující funkcionální rovnici

(1) $H(x) = \cos(x + H(x))$ .

Pokud by se podařilo dokázat, že existuje, a sice jediná taková, pak problém s definicí sybmolu
$\cos (x+\cos (x+\cos (x+...)))$ by tím byl vyřešen a mohli bychom přistoupit k ozázce řešení
rovnice $H(x) = A$ .

Bati · 30. 05. 2014 12:37

↑ Rumburak:
Ahoj.
Protože pro každé $x\in\mathbb{R}$ je funkce $G\mapsto G-\cos{G}-x$ , $G\in\mathbb{R}$ , rostoucí, existuje ke každému $x\in\mathbb{R}$ právě jedno $G_x$ takové, že $G_x-\cos{G_x}-x=0$ . Označím-li $H(x):=G_x-x$ , dostávám $H(x)=\cos(H(x)+x)$ .