Matematické Fórum

Mr.Luc · 31. 05. 2014 11:41

Ahoj, potřeboval bych si ověřit správnost výsledku, pokud by se to někomu chtělo počítat. Zde je zadání:

Určete $\int_{\Sigma } \overrightarrow{A}\overrightarrow{s}$ ,
kde

$\overrightarrow{A}=[-y, x, 2z]$ a

$\Sigma$

je polosféra pro $z>0$ .
Díky Lukáš.

Brano · 31. 05. 2014 19:57 — Editoval Brano (31. 05. 2014 20:20)

co je $\vec s$ ? mas na mysli $\vec{dS}$ plosny element so smerom vonkajsej normaly?

Mr.Luc · 31. 05. 2014 19:58

↑ Brano:
nejspíš ano

Brano · 31. 05. 2014 20:24

Este predpokladam, ze sa jedna o polosferu s polomerom 1. Da sa to lahko cez Gaussovu vetu. Najpr si to musis doplnit na uzavretu plochu. Cize treba
$\int_D \vec A\vec{dS}$ kde $D$ je disk $x^2+y^2\le1$ a $z=0$ - s vonkajsou normalou, t.j. dolu cize $\vec{A}=(-y,x,0)$ a $\vec{dS}=(0,0,-dS)$ teda je to trivialne =0.

Takze mame
$\int_\Sigma \vec A\vec{dS}=\int_{\Sigma\cup D}\vec A\vec{dS}=\int_P \text{div} \vec A dV =(*)$
Kde $P$ je polgula. A lahko vidiet, ze $\text{div} \vec A =2$ teda
$(*)=2V(P)=\frac{4}{3}\pi$