Matematické Fórum

marketka01

Ahoj, nevim si rady s casti tohoto prikladu:

------------------------
"Najděte všechna celá kladná čísla, která mohou být největším společným dělitelem celých
čísel 5n + 6 a 8n + 7 pro nějaké n ∈ Z. (Uvažte, že NSD(a, b) = NSD(a, a − b))."
------------------------

Chápu, že NSD dělí libovolnou lineární kombinaci těch dvou čísel, takže
8·(5n+ 6)−5·(8n+ 7) = 13
Dle řešení v klíči mi to cislo 13 tedy vychází:
"NSD je tedy bud’ roven číslu 1, nebo číslu 13. Vyjde nám, že pro n = 1 je NSD roven cislu 1 a pro n = 4 je NSD roven číslu 13 - správně jsou tedy obě varianty. "

Moje otázka:
Jak se přišlo na to n=4 (vlastně i n=1)?? Nevim, jak to overit, ani jak na ta cisla prijit. Ať dosazuju jak dosazuju, tak mi to nikde nevychází (n=4,n=1). Zkratka od te casti linearni kombinace nevim jak dal...
Děkuji moc.

vanok · 31. 05. 2014 13:54 — Editoval vanok (31. 05. 2014 16:36)

↑ marketka01:,
Mas pravdu, ze mozne NSD su 1 alebo 13 (presnejsieNSD je delitelom cisla 13).
Mozes pouzit http://cs.wikipedia.org/wiki/Bézoutova_rovnost
( fr, eng verzie su kompletnejsie), co urci mozne delitele.
Na urcenie tvojej otazky NSD =13, mozes nast riesenie, kazdej z rovnic
5n+6=0(mod 13)
8n+7=0(mod 13)
a to ti pomoze doriesit cvicenie.
Co si myslis o tomto:
Je jasne, ze n= 4, 17,30,..., 13k+4,.. vyhovuju,...?

marketka01 · 01. 06. 2014 12:15

↑ vanok:

dekuji, a v tom zadani je jeste - at uvazime, ze NSD(a,b)=NSD(a,a-b)

Tohle tam je proc? To me pro samotne reseni nemusi zajimat? Jeste jednou diky :)

vanok · 01. 06. 2014 13:04

Ta poznamka, ze NSD (a,b)=NSD(a,a-b)
je uzitocna a po dokaze ju mozes tiez pouzit.
V tvojom cviceni to da
NSD( 8n + 7 ,5n + 6)=NSD( 8n + 7 ,3n+1)
(Pripadne tuto vlasnost mozes pouzit aj viac krat, co da po viacerych takych upravach =NSD(n-4,13) kde som pouzil aj komutativitu NSD)
To ti da moznost pracovat z 8n + 7 a 3n+1 alebo aj z n-4a 13 miesto danych cisiel... A to moze tiez zjednodusit cele riesenie... Vlastne ide o postup ako Euklidovsly algoritmus.
Poznamka: obe riesenia su dobre. Tak si vyber to co ti lepsie vyhovuje.

marketka01

Jeste jedna vec

//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-06/04860_jhjhjh.jpg

Zajima me ten posledni radek v reseni

Proc to n=1 nemuzu napsat ze uz plati rovnou pro to modulo 3 a uvadim to az u modulo 9 ??
Vzdyt $5n+4 \equiv 0 (mod 3)$ pro n=1 to vyjde take, proc je u "modulo 3" az n=4 a ne rovnou n=1?
Stejne tak kdyz je NSD jednicka - pro jednicku je uvedeno n=0 kdyz by tam klidne mohlo byt take n=1

1) Domnivam se spravne, ze to je kvuli tomu, aby to "n" bylo ruzne pro ruzna cisla? Tj. aby pro kazde cislo bylo jine N??
2) A proc se vlastne jde nejdal po 10tku (n=10) ?
Diky

vanok · 02. 06. 2014 14:51

Take situacie potrebujes hlbsiu uvahu.
Preco mod 9?a n=1.
A mod 3? Pre n=4
A inac obe su rovnake mod 3

Normalne treba podrobne vysetrit pre vsetky n az do 27. ( cize to je najlepsie studovat mod 27)

marketka01 · 02. 06. 2014 15:56

$5n+4\equiv 0 (mod 3)$
tohle prece plati i pro n=7

a ve vysledku to nikde neni... porad mi nedochazi podle ceho vybirali do vysledku ta konkretni "n"

vanok · 02. 06. 2014 16:14

↑ marketka01:,
To preto lebo ukazali len priklad takej situacie.
Vsak napisali vsetki varianty su mozne, a nevymenovali kompletne vsetki mozno situacie. ( to by uz bolo pytane v texte cvicenia, ze chcu podrobne popis vsetkych pripadov)

marketka01 · 02. 06. 2014 16:21

↑ vanok:
Aha, takze mi staci najit jakekoliv "n" pro ktere plati 5n+4=0 (mod m)
kde m=1,3,9,27
(pokud v zadani nevyzaduji vsechny moznosti)

Je to tak? :)

vanok · 02. 06. 2014 16:36

Ano, to staci, lebo viac nepytaju.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2014 12:04 — Editoval marketka01 (31. 05. 2014 12:06)

Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#2 31. 05. 2014 13:54 — Editoval vanok (31. 05. 2014 16:36)

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#3 01. 06. 2014 12:15

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#4 01. 06. 2014 13:04

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#5 02. 06. 2014 12:30 — Editoval marketka01 (02. 06. 2014 12:49)

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#6 02. 06. 2014 14:51

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#7 02. 06. 2014 15:56

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#8 02. 06. 2014 16:14

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#9 02. 06. 2014 16:21

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

#10 02. 06. 2014 16:36

Re: Nejvetsi spolecny delitel - nejasnost

Zápatí