Matematické Fórum

milan.w · 31. 05. 2014 16:34

Zdravím, potřeboval bych poradit s příkladem z funkcionální analýzy:
Najděte normu $||T||$ lineárního funkcionálu $Tf(x) = \int_{0}^{1}e^{x-t}f(t)dt$ na prostoru $C([0;1])$
mám tento předmět formou samostudia a příkladům moc nerozumím, chtěl bych se zeptat jestli je na jejich řešení nějaký obecný postup, děkuji

vnpg · 31. 05. 2014 18:05

Zdravím,
Obecný postup v podstatě vyplývá z následující formulace, pomocí které můžeme definovat normu lineárního funkcionálu: je to nezáporné číslo $||T||$ takové, že platí následující dvě podmínky:

1) Pro všechna $f \in C([0;1])$ platí nerovnost $|| Tf ||_\infty \leq ||T|| \; ||f||_\infty$ . (Předpokládám, že na $C([0;1])$ používáme normu $||.||_\infty$ . Pokud ne, tak je postup stejný, akorát je potřeba psát tu odpovídající normu.)

2) Existuje posloupnost $(g_n)_{n=1}^\infty$ prvků $C([0;1])$ taková, že $||g_n||_\infty = 1$ pro každé $n$ a $\lim_{n \to \infty} ||Tg_n||_\infty = ||T||$ . (V mnoha /ale ne ve všech/ případech existuje i konstantní posloupnost s touto vlastností, tj. existuje $g \in C([0;1])$ takové, že $||g||_\infty = 1$ a $||Tg||_\infty = ||T||$ .)

Takže postupujeme tak, že nejprve najdeme (co nejnižší) konstantu $k \geq 0$ splňující $|| Tf ||_\infty \leq k ||f||_\infty$ pro všechna $f \in C([0;1])$ a pak se snažíme najít posloupnost $(g_n)_{n=1}^\infty \subset C([0;1])$ takovou, že $||g_n||_\infty = 1$ pro všechna $n$ a $||Tg_n||_\infty \to k$ (popř. někdy lze najít funkci $g \in C([0;1])$ takovou, že $||g||_\infty = 1$ a $||Tg||_\infty = k$ ). Pokud se to podaří, tak víme, že $||T|| = k$ .

V našem případě můžeme začít např. následujícím způsobem:

$||Tf||_\infty = \max_{x \in [0;1]} |Tf(x)| = \max_{x \in [0;1]} \left| \int_0^1 e^{x-t} f(t) dt \right| \leq \max_{x \in [0;1]} \int_0^1 e^{x-t} |f(t)| dt \leq ||f||_\infty \max_{x \in [0;1]} \int_0^1 e^{x-t} dt = \cdots$ .

milan.w · 31. 05. 2014 21:52

↑ vnpg:

děkuji za pomoc, jak tedy poznám kterou normu mám použít, když to není přímo určeno v zadání? Určuje se nějak podle prostoru na kterém hledám funkcionál?

vnpg · 01. 06. 2014 10:03

↑ milan.w:

Řekl bych, že na prostoru $C([0;1])$ (a obecněji na prostorech typu $C(X)$ , kde $X$ je kompakt) je nejběžnější používat supremovou normu $||f||_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$ , pokud není uvedeno jinak.

milan.w · 01. 06. 2014 16:28

↑ vnpg:

mohl bych ještě poprosit o dopočítání tohoto příkladu, abych ho mohl použít jako vzorový k počítání obdobných?

vnpg · 01. 06. 2014 18:00

Navážu tam, kde jsem skončil v první odpovědi:

(1) $||Tf||_\infty \leq ||f||_\infty \max_{x \in [0;1]} \int_0^1 e^{x-t} dt = ||f||_\infty \max_{x \in [0;1]} (e^x - e^{x - 1}) = ||f||_\infty (e - 1)$ .

Tohle platí pro všechna $f \in C([0;1])$ . Takže $e - 1$ je náš kandidát na $||T||$ . Vlastně jsme dokázali, že $||T|| \leq e - 1$ . Nyní bychom chtěli dokázat, že platí i $e - 1 \leq ||T||$ . K tomu musíme najít posloupnost funkcí $g_n$ z $C([0;1])$ takovou, že $\lim_{n \to \infty }\frac{||Tg_n||_\infty}{||g_n||_\infty} = e - 1$ . Na to asi není žádný univerzální postup, takže to budeme zkoušet metodou pokus-omyl. Nejjednodušší bude začít tím, že vyzkoušíme konstantní posloupnosti $g_n = g$ , kde $g$ je nějaká jednoduchá funkce z $C([0;1])$ . Asi nejjednodušší funkce, jaká nás může napadnout, je konstantní funkce $g \equiv 1$ . Platí $||g||_\infty = 1$ a

(2) $||Tg||_\infty = \max_{x \in [0;1]} |Tg(x)| = \max_{x \in [0;1]} \int_0^1 e^{x - t} dt = e - 1$ .

To dokazuje, že $||T|| = e - 1$ .

V tomto případě jsme měli trochu štěstí, že jsme vhodnou funkci $g$ našli hned na první pokus. Občas je potřeba vyzkoušet různé možnosti, než člověk přjde na to, jaká funkce (nebo posloupnost funkcí) bude vyhovovat. Také se může stát, že náš kandidát na $||T||$ získaný v první části postupu je ve skutečnosti striktně vyšší než $||T||$ . V takovém případě musíme nějak zpřesnit nerovnost (1) a najít jiného kandidáta.