Matematické Fórum

bojkot · 26. 03. 2009 14:06

zobrazení N->Z

/ x/2 pro x=2k
f(x)=
\ 3-x/2 pro x=2k-1

Proč toto zobrazení není injektivní?když
f(x)=f(y)

x/2=y/2 => x=y

3-x/2= 3-y/2 => x=y

Pavel · 26. 03. 2009 18:04

↑ bojkot:

Zobrazení $f:A\rightarrow B$ je injektivní, jestliže

$\forall x,y\in A,\ x\neq y\qquad\Rightarrow\qquad f(x)\neq f(y)$

Jenže v Tvém případě, je $f(1)=1$ a $f(2)=1$ . Tudíž zobrazení injektivní není.

lukaszh

↑ bojkot:
Ty si ukázal, že injektívne sú zobrazenia
$f_1(x)=\frac{x}{2}\nlf_2(x)=\frac{3-x}{2}$
Nezabúdaj, že f(x) je nejaké zložené zobrazenie z dvoch rôznych. Ty si volil kombinácie $(x,y)$ , lenže treba využiť definičné vlastnosti a dosadzovať konkrétnu dvojicu $(2k_1,2k_2-1)$ , odkiaľ sa ľahko ukáže, že nejde o injektívne zobrazenie:
$\frac{2k_1}{2}=\frac{3-(2k_2-1)}{2}\Rightarrow k_1+k_2=2$
Takú kombináciu prirodzených čísel nájdeš veľmi rýchlo, ide o $(1,1)$ a dosadením nájdeme hodnoty, ktoré uviedol ↑ Pavel:
$2k_1=2\cdot1=2\Rightarrow f(2)=1\nl2k_2-1=2\cdot1-1=1\Rightarrow f(1)=1$

bojkot · 26. 03. 2009 18:58

↑ Pavel:
Dík a můžu tohle f(x)=f(y)

x/2=y/2 => x=y

3-x/2= 3-y/2 => x=y
brát jako důkaz že to není injektivní?

lukaszh · 26. 03. 2009 19:31

↑ bojkot:
To čo uvádzaš nie je nič. Nemá to hlavu ani pätu, preto to nemožno za žiadny dôkaz považovať. Nakoniec si odporuješ vo vete. Z toho čo ukazuješ by si ukázal, že je injektívne a vzápätí sa pýtaš, či to možno považovať za dôkaz niečoho opačného.

bojkot · 26. 03. 2009 21:16

↑ lukaszh:
ok
a kdyby to bylo takhle?
f(x)=f(y)

x/2=y/2 => x=y

3-x/2= 3-y/2 => x=y

x/2=3-y/2
x=3-y

prosím neházejte po mě kamením :-)

Rumburak · 27. 03. 2009 09:29

↑ bojkot: Doporučoval bych podrobně si nastudovat (včetně důkazů vět - čím více, tím lépe) ucelenější úsek z nějaké dobré učebnice matematiky (její tématické zaměření není příliš rozhodující), abys pochopil obvyklé postupy při důkazech, jak se v nich pracuje s definicemi, jakých typických logických obratů se užívá atd.

bojkot · 27. 03. 2009 10:41

Zkusim ted něco jednodušího...
N->Z
f(x)=x na 2 + 2

inejkce:
tady žádný prvek ze Z nemá víc jak jednen vzor
Za korektní důkaz teda považuju:

f(x)=f(y)
x na 2 + 2 = y na 2 + 2 => x=y

surjekce:
není,protože pro y<3 neexistuje x $\in$ Z,pro které by platilo y=f(x)=x na 2 + 2

bojkot · 27. 03. 2009 18:44

Pls mohl by někdo reagovat na ten můj předchozí příspěvěk?Nevím jestli jsem to správně pochopil

Ještě bych potřeboval poradit jestli jde důkaz o injekci vést títmto způsobem: (x+2)/(x+3)=1=>x+2
Díky moc

lukaszh

↑ bojkot:
Myslím, že prvý je správne. Len pri tej surjekcií si stačí uvedomiť, že $f(x)\,>\,0\,;\;\forall x\in\mathbb{N}$ , preto nie je možné nájsť žiadny záporný obraz v $\mathbb{Z}^-$ . Preto nejde o surjekciu.

Druhý príklad:
Ak máme dokazovať, že ide o injektívne zobrazenie, tak
$x=y\Rightarrow f(x)=f(y)$
Samotná funkcia s predpisom $g(x)=\frac{x+2}{x+3}$ je prostá (treba ukázať). Preto aj zobrazenie
$f\,:\;\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}\,,\;x\to f(x)=\frac{x+2}{x+3}$
je injektívne.
Treba len zistiť, či existuje také $z\in\mathbb{Z}\backslash\{3\}$ , že $f(z)=1$ . Čiže ak nájdem také z, potom budú existovať dve rôzne čísla x,z, ktoré budú nadobúdať rovnaké hodnoty (vzory). Z toho bude vyplývať, že zobrazenie nie je injektívne. Ak tomu tak nebude tak nebude injektívne.
$\frac{z+2}{z+3}=1\Rightarrow z+2=z+3\Rightarrow 2\ne3$
teda také z neexistuje. Ide o injektívne zobrazenie.