Matematické Fórum

Skumin · 04. 06. 2014 19:11

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím problémem: mám diferenciální rovnici s charakteristickým polynomem $(x^2+1)(x+1)^2$ , a je třeba zaprvé určit fundamentální systém a příslušnou fundamentální matici, a za druhé jiný fundamentální systém a jemu příslušnou fundamentální matici. První otázka je jasná, fundamentální systém je "klasicky" $\cos t, \sin t, \mathrm{e}^{-t}, t \cdot\mathrm{e}^{-t}$ , matici taky zvládnu napsat. Jak mám ale určit jiný fundamentální systém? Děkuji za pomoc.

Skumin · 04. 06. 2014 19:43

Můžu prostě vzít všechny čtyři funkce a vynásobit je konstantou?

vnpg · 08. 06. 2014 19:53

Ahoj,

Skumin napsal(a):
Můžu prostě vzít všechny čtyři funkce a vynásobit je konstantou?

Tohle je jedna z možností. Fundamentální systém je báze vektorového prostoru všech řešení dané homogenní dif. rovnice (nebo soustavy dif. rovnic). Takže je-li $A$ regulární (invertibilní) matice velikosti 4¤4 s koeficienty $\{a_{ij}\}_{1 \leq i,j \leq 4}$ , pak funkce $f_1, \dots, f_4$ definované předpisem

$f_j(t) = a_{1j} \cos t + a_{2j} \sin t + a_{3j} e^{-t} + a_{4j} te^{-t} \qquad (j \in \{1,2,3,4\})$

tvoří fundamentální systém.

Bohužel nevím, jak je to s těmi fundamentálními maticemi (znám definici pro případ soustavy lineárních rovnic řádu 1, ale tohle vypadá na jednu dif. rovnici řádu 4).

Rumburak · 09. 06. 2014 10:19

↑ vnpg:

Ahoj.

Lineární ODR řádu $n$ s neznámou funkcí $y$ se dá převést na soustavu $n$ lineárních rovnic prvního řádu
s $n$ neznámými funkcemi.

Matematické Fórum

#1 04. 06. 2014 19:11

Fundamentální systém

#2 04. 06. 2014 19:43

Re: Fundamentální systém

#3 08. 06. 2014 19:53

Re: Fundamentální systém

Skumin napsal(a):

#4 09. 06. 2014 10:19

Re: Fundamentální systém

Zápatí