Matematické Fórum

lemko · 10. 06. 2014 22:19

Dobriden, jsem Frantcouz, studujou v CVUT v Praze (Erasmus, anglicky jazyk).
Nemluvim cesky :(

Jaká čísla musíme přidat k množině $\{2, 4, 6\}$ tak, aby výsledná množina s klasickými operacemi sčítání a násobení tvořila okruh a aby byla zároveň nejmenší možná?

a) Musíme přidat všechna sudá celá čísla, tzn. vznikne množina $\{..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...\}$ .
b) Musíme přidat všechna celá čísla, tzn. vznikne množina $\mathbf{Z}$ .
c) Musíme přidat všechna přirozená sudá čísla, tzn. vznikne množina $\{0, 2, 4, 6, 8, ...\}$ .
d) Musíme přidat všechna přirozená sudá čísla bez 0, tzn. vznikne množina $\{2, 4, 6, 8, ...\}$ .
e) Musíme přidat všechna reálná čísla, tzn. vznikne množina $\mathbf{R}$ .

2. Mějme v lineárním prostoru $\mathbf{R^4}$ dvě variety $W_1$ a $W_2$ dimenze dva. Který z následujících výroků je pravdivý.

a) Průnik těchto variet je varieta dimenze alespoň 1.
b) Tyto variety nemohou být různoběžné.
c) Součet těchto variet je varieta dimenze nejvýše dva.
d) Průnik těchto variet je varieta dimenze dva, právě když $W_1 = W_2$ .
e) Ani jedno z tvrzení a) - d) není pravdivé.

3. Buď P_4 lineární prostor polynomů stupně menšího než 4 a $A: P_4 \rightarrow P_4$ je zobrazení, které přiřazuje polynomu jeho první derivaci. Který z následujících tvrzení je pravdivé.

a) Matice lin. operátoru A ve standardní bázi $(1, x, x^2, x^3)$ obsahuje pouze nuly a jedničky.
b) Matice lin. operátoru A ve standardní bázi $(1, x, x^2, x^3)$ umocněná na 3 obsahuje dvě nenulová čísla.
c) Matice lin. operátoru A v bázi $(1 + x + x^2, x, x^2 - x, x^3 + x)$ umocněná na 4 se rovná nulové matici.
d) Matice lin. operátoru A v bázi $(1 + x + x^2, x, x^2 - x, x^3 + x)$ je regulární.
e) Ani jedno z tvrzení a) - d) není pravdivé.

4. Uvažujme lineární prostor V dimenze 5 nad tělesem $\mathbf{T}$ a jeho podprostory P, Q takové, že $\dim P = 3$ a $\dim Q = 4.$ Potom platí:

a) $P + Q$ je rovno V
b) $P \cup Q$ je podprostor V dimenze alespoň 4.
c) $P \cap Q$ je podprostor dimenze nejvýše 2.
d) Průnik $P \cap Q$ může být prázdný.
e) Ani jedno z tvrzení a) - d) není pravdivé.

I think the answer are like this:
1. a)

2. d)

3. c)

4. e)

what do you think about this?

Brano · 11. 06. 2014 00:30

1) depends on the exact definition of ring that you use, usually a multiplicative identity is also required so b.)
2) again, it depends on the definition. how about P, Q beeing two disjoint plains and $W_1=P$ and $W_2=P\cup Q$
4) OK
3) I'm too lazy :-)

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2014 22:19

Quizz in linear algebra

#2 11. 06. 2014 00:30

Re: Quizz in linear algebra

Zápatí