Matematické Fórum

vanok · 12. 06. 2014 13:53 — Editoval vanok (16. 06. 2014 23:18)

Pozdravujem,
V tomto vlakne by som chcel dat do popredia rozne metody (ilustrovane cviceniamy) na uzitocne na studium temy uvedenej v titule.
Zda sa to uzitocne, lebo taketo otazky sa objavuju casto na tomto fore.

I ked povodne som neplanoval pripomenut vsetki definicie tykajuce sa tejto temy. Som sa rozhodol to urobit, z didaktickych dovodov, aby citatel nemusel vela hladat v jeho poznamkach z prednasiek.

Na definiciu Riemann-oveho integralu sa pouziva uzavrety ohraniceny interval [a,b] a jedna funkcia f definovana na intervale [a,b].
To znamena, ze zapis $\int_{a}^{b} f(t)dt$ ma et zmysel Pre urcite funkcie ( ako napr. spojite funkcie, spojite po castiach, monototonne ) definovane na uzavretom, ohranicenom intervale [a,b].
Funkcie pre ktore symbol $\int_{a}^{b} f(t)dt$ ma zmysel sa volaju Riemann-itegrovatelne funkcie.
Ciel tohto vlakna je rozsirit pojem predosleho integralu, v urcitych pripadoch na funkcie, ktore su definovane na intervaloch ktore su nie si zatvorene ohranicene.
Presnejsie na intervaloch typu:
Ohranicene intervaly, otvorene alebo polo-otvorene: $]a,b[,]a,b ],[a,b[$ ( a, b realne a<b)
Neohranicene intervaly: $]-\infty,b],]-\infty, b[, [a,+\infty,[, ]a,+\infty[, ]-\infty,+\infty[$ (a, b realne).
Na pokracovanie
V tomto vlakne pokial to inac neupresnime pojde
Ciel tychto poznamok

vanok · 12. 06. 2014 21:34 — Editoval vanok (18. 06. 2014 12:06)

Na tejto strane predpokladam, ze vsetky funkcie za symbolom integracie su spojite na kazdom uzavretom limitovanom intervale ktoreho hranice su medzi medzamy symbolu integracie.
Predpokladam, ze pojem nevlastnych integralov je kazdemu jasny.
Prve priklady cviceni,( ohranicene funkcie na neohranicenom intervale, kde vieme urcit neurcite integraly )
Cvicenie 1:
Urcite ci ide o konvergentny alebo divergentny integral.
$\int_{1}^{+\infty}\frac{dt}t$
a) najprv mame $I(x)=\int_{1}^x \frac{dt}t= [\ln t]_1^x= \ln x$
b) $\lim_{x\to +\infty}I(x)=\lim_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$
c) toto znamena ze dany integral diverguje

Podobne cvicenia
Cvicenie 2: $\int_{0}^{+\infty}\frac 1 {1+t^2}dt$
Cvicenie3: $\int_{1}^{+\infty}\frac 1 {t^2}dt$

vanok · 13. 06. 2014 14:41 — Editoval vanok (18. 06. 2014 12:07)

Na tejto strane predpokladam, ze vsetky funkcie za symbolom integracie su spojite na kazdom uzavretom limitovanom intervale ktoreho hranice su medzi medzamy symbolu integracie.

Toto Riemann-ove kriterium treba vediet:
Nech $a>0$ , potom $\int_{a}^{+\infty}\frac 1 {t^{\alpha }}dt$ konverguje len a len ked $\alpha >1$
( dokaz je v kazdej prednaske na tuto temu )

Dalsie priklady cviceni,( ohranicene funkcie na neohranicenom intervale, kde vieme urcit neurcite integraly )
Tu vyuzijeme :
metodu PP

Cvicenie 4
Vysetrite konvergenciu $\int_{1}^{+\infty}\frac {\ln t}{t^2}dt$
a)vypocitajme PP
$\int_{1}^x\frac {\ln t}{t^2} dt=$ $[- \frac {\ln t}t ]_1^x -\int_{1}^{x}\frac 1{t^2}dt=- \frac {1+\ln x}{x}+1$
b) to nam da
$\int_{1}^{+\infty}\frac {\ln t}{t^2}dt=\lim_{x\to +\infty}\int_{1}^x\frac {\ln t}{t^2}dt=\lim_{x\to +\infty}(- \frac {1+\ln x}{x}+1)=1$
c)to nam ukazuje, ze $\int_{1}^{+\infty}\frac {\ln t}{t^2}dt$ je konvergentny a na viac $\int_{1}^{+\infty}\frac {\ln t}{t^2}dt=1$
Dalsie cvicenie ( substitucia premennej)
Cvicenie 5:
Vysetrite konvergenciu $\int_{1}^{+\infty}\frac {e^{-\frac 1t}}{t^2}dt$

vanok · 14. 06. 2014 12:52 — Editoval vanok (18. 06. 2014 12:06)

Na tejto strane predpokladam, ze vsetky funkcie za symbolom integracie su spojite na kazdom uzavretom limitovanom intervale ktoreho hranice su medzi medzamy symbolu integracie.

Teraz pridam zakladne metody pre kladne funkcie ( ohranicene funkcie na neohranicenom intervale).
Tu je nevyhnutne vediet porovnajuce kriterium.
Nech f,g su dve pozitivne funkcie na $[a,+\infty[$ , take ze $f \le g$ .
Potom,
ak $\int_{a}^{+\infty}g(t) dt$ konverguje, tak aj $\int_{a}^{+\infty}f(t) dt$ konverguje;
ak $\int_{a}^{+\infty}f(t) dt$ diverguje, tak aj $\int_{a}^{+\infty}g(t) dt$ diverguje.
Cvicenie 5.
Vysetrite konvergenciu $\int_{2}^{+\infty}\frac 1{\ln t}dt$ .

Vieme, ze pre kladne funkcie f, g , definovane na $[2,+\infty[$ : $f(x)=\frac 1x$ , $g(x)=\frac 1{\ln x}$ plati $f \le g$ .
Akoze $\int_{2}^{+\infty}\frac 1tdt$ diverguje ( cf. Riemannien-ove kriterium), tak aj $\int_{2}^{+\infty}\frac 1{\ln t}dt$ diverguje.

Kriterium ekvivalentnosti.
Ak f, g su kladne a $f \sim_{+\infty} g$ ( co znamena, ze $\lim_{x\to {+\infty}}\frac {f(x)}{g(x)}=1$ ),
tak $\int_{a}^{+\infty}f(t)dt$ , $\int_{a}^{+\infty}g(t)dt$ bud sucacne konverguju, alebo sucasne diverguju.