Matematické Fórum

StupidMan

jak zjistim polomer kruznice opsane trojuhelniku o vrcholech A[5.3] B[3.-1] C[2,2] ?
D=stred AB
D[4.1]

E=stred BC
E[5/2,1/2]

Blizzy · 28. 03. 2009 15:48

Kružnice opsaná trojúhelníku leží na průsečíku os stran (stačí 2 osy ze tří).

Rovnici osy strany zjistíš následovně (např. osa strany AB):
Určíš vektor strany AB: $\vec{AB} = B-A = (3-5; -1-3) = (-2;-4)$ .
Teď z něj uděláš normálový vektor (vyměníš souřadnice a jednu z nich vynásobíš mínus jednou):
$\vec{n}=(4;-2)$ , protože nás zajímá pouze směr vektoru, a nikoliv jeho velikost, můžeme použít i $\vec{n}=(2;-1)$
Teď vektor dosadíš do obecné rovnice přímky:
$ax + by + c = 0 \nl 2x-y+c=0$
Teď dosadíš střed strany AB (bod [4;1])
$8-1+c=0\nlc=-7$
A doplníš c:
$2x-y-7=0$

Pokud takto určíš rovnice os dvou stran, výsledný střed kružnice opsané lze spočítat ze soustavy jejich rovnic.
Poloměr pak určíš jako vzdálenost středu od kteréhokoliv vrcholu trojúhelníka.

StupidMan · 28. 03. 2009 15:57

↑ Blizzy:
tak presne sem sem to jeste umel ale dal to uz sem nevedel jak
2x-y-7=0
3x+y-8=0

2x-y-7=3x+y-8
x+2y-1=0 takhle?
stred S[1,2] nevychazi to

Blizzy · 28. 03. 2009 16:13 — Editoval Blizzy (28. 03. 2009 16:15)

Tu soustavu dvou rovnic vyřešíš nejrychleji sčítací metodou.
$2x-y-7=0\nl \underline {3x+y-8=0}\nl \text{ }\nl 2x+3x-y+y-7-8=0\nl 5x-15=0\nl x=3\nl \text{ }\nl 2\cdot 3-y-7=0\nl y=-1\nl$

S[3;-1]

Pokud to nesedí, zkontroluj si, jestli máš dobře tu druhou rovnici (nějak se mi to nezdá), možná jsi zapomněl z vektoru udělat normálový vektor nebo tak něco...

StupidMan · 28. 03. 2009 16:29

nesedi to stred by mel byt v bode [4,1]

StupidMan · 28. 03. 2009 18:08

nevidim nikde chybu... a neresi se to nahodou jinak?

Blizzy · 28. 03. 2009 22:26 — Editoval Blizzy (28. 03. 2009 22:28)

Mě to vychází, musíš umět spočítat normálový vektor. Souřadnice vyměnit a jednu vynásobit -1! (Protože výsledek skalárního součinu dvou kolmých vektorů musí být nula)

Vektor AC = C-A = (2-5;2-3) = (-3;-1), z toho normálový (1;-3).
Rovnice přímky:
x-3y+c=0
dosadím střed AC [7/2; 3/2]

7-9+2c=0
c=-1

x-3y-1=0

2x-y-7=0
x-3y-1=0
-----------
2x-y-7=0
-2x+6y+2=0
-----------
5y-5=0
y=1

x-3-1=0
x=4

S[4;1]

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2009 14:59 — Editoval StupidMan (28. 03. 2009 14:59)

kruznice opsane

#2 28. 03. 2009 15:48

Re: kruznice opsane

#3 28. 03. 2009 15:57

Re: kruznice opsane

#4 28. 03. 2009 16:13 — Editoval Blizzy (28. 03. 2009 16:15)

Re: kruznice opsane

#5 28. 03. 2009 16:29

Re: kruznice opsane

#6 28. 03. 2009 18:08

Re: kruznice opsane

#7 28. 03. 2009 22:26 — Editoval Blizzy (28. 03. 2009 22:28)

Re: kruznice opsane

Zápatí