Matematické Fórum

Ospli · 14. 06. 2014 17:58 — Editoval Ospli (14. 06. 2014 18:07)

Zamotal jsem se do vtahu mezi limitou funkce a postupnými limitami reálných funkcí více reálných proměnných. Pomůžete mi to prosím objasnit, nebo nemáte někdo odkaz na nějaká dobrá scripta zabývající se touto tématikou? Zkoušel jsem hledat, ale všechno jsou jen kuchařky na počítání nebo sbírky příkladů - bez hlubšího vysvětlení teorie.

Chci ukázat, že když má funkce limitu a existují postupné limity, tak se rovnají. Vyšlo mi z toho ale, že pokud má funkce postupnou limitu, tak existuje i její limita a rovnají se, což by asi nemělo platit...

Mám funkci f dvou proměnných, existuje funkce $\varphi (x)=\lim_{y\to y_{0}} f(x,y)$ pro $x$ z nějakého okolí $x_{0}$ a $b=\lim_{x\to x_0} \varphi (x)$ .

Potom
$\forall \varepsilon \exists \delta \forall x,y,x': (0<|x-x_0|<\delta \wedge 0<|y-y_0|<\delta )=> (|\varphi (x)-b|<\varepsilon \wedge |f(x',y)-\varphi (x')|<\varepsilon)$

To musí platit i pro x'=x
$\forall \varepsilon \exists \delta \forall x,y: (0<|x-x_0|<\delta \wedge 0<|y-y_0|<\delta )=> (|\varphi (x)-b|<\varepsilon \wedge |f(x,y)-\varphi (x)|<\varepsilon)$

A podle trojuhelníkové nerovnosti
$\forall \varepsilon \exists \delta \forall x,y: (0<|x-x_0|<\delta \wedge 0<|y-y_0|<\delta )=> |f(x,y)-b|<= |f(x,y)-\varphi (x)|+|\varphi (x)-b|<2\varepsilon$

To mi přijde ekvivalentní
$\forall \varepsilon \exists \delta \forall x,y: 0<\sqrt{(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}}<\delta => |f(x,y)-b|<\varepsilon$
Což není nic jiného, než že fce f má v bodě (x0,y0) limitu b.

Díky za pomoc.

Brano · 14. 06. 2014 18:42

hned ten prvy vyrok neplati - prehodil si kvantifikatory ma tam byt
$\forall\varepsilon\forall x'\exists\delta\forall x,y$
tak ako si to napisal sa tomu hovori, ze ta prva limita je rovnomerna (resp. konverguje rovnomerne) a to uz je ako si nahliadol dostacujuce na existenciu dvojnej limity

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2014 17:58 — Editoval Ospli (14. 06. 2014 18:07)

Proč není existence (postupné) dvojnásobné limity postačující?

#2 14. 06. 2014 18:42

Re: Proč není existence (postupné) dvojnásobné limity postačující?

Zápatí