Matematické Fórum

koutnej · 17. 06. 2014 12:20

Zdravím,

chtěl bych se zeptat, zda lze nějak "co nejjednodušeji" určit vzdálenost dvou různoběžných rovin v prostoru. např. takových, jako jsou na obrázku.

Rumburak · 17. 06. 2014 12:26

Zdravím také.

V geometrii obecně platí, že dvě množiny, jejichž průnik je neprázdný, mají vzdálenost 0.
To je i případ dvou různoběžných rovin v prostoru .

koutnej · 17. 06. 2014 12:40

To je sice pravda, ale asi to neřeší můj problém.. já bych potřeboval vědět velikost vzdálenosti při prázdném průniku.

Rumburak · 17. 06. 2014 13:01

↑ koutnej:

Code:

...já bych potřeboval vědět velikost vzdálenosti při prázdném průniku.

Pak ale roviny nejsou různoběžné (jak bylo deklarováno).

Vzdálenost množin $A , B$ je obecně dána vzorcem

$\text{dist} (A, B) := \inf \{|a-b| : a \in A \wedge b \in B\}$ .

koutnej · 17. 06. 2014 15:58

Měl jsem na mysli dvě mimobežné roviny (moje chyba)

Chtěl jsem problém co nejvíce zjednodušit, ale asi to byla chyba,takže věc se má tak:

Mám namodelované zmiňované dvě roviny ve 3D prostoru. Roviny by se v prostoru měly volně pohybovat a v případě blížící se kolize by se zastavili v určité vzdálenosti od sebe. Pokud si v každé rovině nadefinuji množinu bodů a budu počítat její vzdálenost, bude to hodně výpočetně náročné (např. v případě více než dvou rovin).

byk7 · 17. 06. 2014 16:09 — Editoval byk7 (17. 06. 2014 16:11)

V trojrozměrném prostoru můžou být dvě roviny
a) rovnoběžné - totožné
- různé
b) různoběžné

jiná situace nastat nemůže, tj. neexistují takové dvě roviny mající prázdný průnik, které nejsou rovnoběžné.

Teoreticky by dvě roviny mohly být mimoběžné v prostorech s dimenzí alespoň 4,
ale nejsem si jistý, jestli je to to, co chceš.

koutnej · 17. 06. 2014 16:17

No jo, když ona rovina není ohraničená, jako třeba úsečka, už mi to došlo. Takže už nevím, jak to mám popsat.. potřebuju teda porovnávat z každé té roviny jen ohraničenou část, např. obdélník.... takže jakoby dva obdélníky poletující prostorem.

byk7 · 17. 06. 2014 16:33

je to jen nápad, takže nic nezaručuju, ale řekněme, že máme obdélníky
$&\mathsf{R}_1\,:\,a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0,\qquad x\in I_1,y\in J_1 \\ &\mathsf{R}_2\,:\,a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0,\qquad x\in I_2,y\in J_2$
kde $I_1,I_2,J_1,J_2$ jsou nějaké intervaly (asi uzavřené).

No a pak hledáš minimum funkce $\left|z_1(x,y)-z_2(x,y)\right|$ .

check_drummer · 17. 06. 2014 16:42

Ahoj,
asi by se to dalo řešit jako vzdálenost všech dvojic mimoběžek tvořících hrancie obou útvarů (kde první přímka je hranice prvního útvaru a druhá je hranicí druhého) - a pokud bod, ve kterém se tato vzdálenost realizuje padne mimo úsečku (hranici), pak je nutno uvažovat vzdálenost koncových bodů úsečky od té druhé. A dále je potřeba uvažovat vzdálenost vrcholů tvořících "rohy" hranic od roviny, ve které leží druhý útvar. A ještě je nutné zkoumat, dza se oba útvary protnou - pak by byla vzdálenost 0. Možná to ale půjde nějak elegantněhi.

koutnej · 18. 06. 2014 13:03

byk7 napsal(a):
je to jen nápad, takže nic nezaručuju, ale řekněme, že máme obdélníky

myslím, že hledání minima by bylo docela časově náročný.

zkusím jít na celý problém jinak. Chtěl bych tu moji ohraničenou rovinu (tedy ten obdélník) pokrýt určitým rastrem bodů v dané vzdálenosti od sebe. To samé bych udělal i s druhým obdélníkem a pak bych počítal a porovnával vzdálenosti mezi jednotlivými body. Není mi ale úplně jasné, jak vytvořit ten rastr, respektive jak vymyslet takové body, které budou patřit do "obdélníku". Dokážu popsat rovinu parametricky i obecně a vím jak zjistit, jestli bod leží v rovině, ale já bych potřeboval ty body které leží v "obdélníku" přímo vytvořit.

check_drummer · 18. 06. 2014 17:21

↑ koutnej:
S rastrem to bude náročnější, budeš mít kvadratickou složitost... Podle mě stačí, jak říkám, zkoumat jen speciální body na hranici, protože podle mého bdue platit věta, že pokud minimální vzdálenost se nabývá mezi body X-Y, pak buď X nebo Y leží na hranici těch polygonů - tedy není možné aby X i Y ležely uvnitř. Ale bylo by zajímavé tuto větu dokázat.

koutnej · 18. 06. 2014 19:35

↑ check_drummer:
abych řekl pravdu, tak mi vůbec není jasný, jak to myslíš...

check_drummer · 19. 06. 2014 16:23

↑ koutnej:
Místo Tvého pojmu "rovina" použijme pojem "mnohoúhelník". Označme oba mnohoúhelníky A a B. Nechť jejich vzdálenost je d a jedná se o vzdálenost mezi nějakými dvěma body X z A a Y z B (lze ukázat, že ačkoli je vzdálenost definována jako infimum, zde půjde o minimum a tedy skutečně se bude nabývat mezi nějakými dvěma body - jestli Ti tato věta v závorce není jasná, tak ji ignoruj). Otázka: jakou vlastnost mají X a Y? - mohou oba ležet uvnitř A a B a nebo musí alespoň jden z nich ležet na "hranici" mnohoúhelníku A (nebo B)? (Předpokládejme zatím, že se A a B neprotínají.)

koutnej · 20. 06. 2014 08:10

↑ check_drummer:

Podle mě mohou oba body ležet uvnitř.

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2014 12:20

Vzdálenost různoběžných rovin

#2 17. 06. 2014 12:26

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#3 17. 06. 2014 12:40

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#4 17. 06. 2014 13:01

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

Code:

#5 17. 06. 2014 15:58

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#6 17. 06. 2014 16:09 — Editoval byk7 (17. 06. 2014 16:11)

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#7 17. 06. 2014 16:17

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#8 17. 06. 2014 16:33

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#9 17. 06. 2014 16:42

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#10 18. 06. 2014 13:03

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

byk7 napsal(a):

#11 18. 06. 2014 17:21

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#12 18. 06. 2014 19:35

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#13 19. 06. 2014 16:23

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

#14 20. 06. 2014 08:10

Re: Vzdálenost různoběžných rovin

Zápatí