Matematické Fórum

Brano · 17. 06. 2014 21:57 — Editoval Brano (17. 06. 2014 21:58)

Najdite sucet radu (bez Wolframu :-)

$\sum_{n=0}^\infty{2n \choose n}\frac{1}{5^n}.$

Marian · 18. 06. 2014 07:00 — Editoval Marian (18. 06. 2014 07:01)

Brano · 18. 06. 2014 09:43

Marian · 18. 06. 2014 11:51

↑ Brano:

Vlastně jsem problém znal. Zajímalo by mě, zda neexistuje nějaké jiné řešení (známo mi je ještě řešení využívající residuového počtu, kdy se centrální binomický koeficient vyjadří pomocí křivkového integrálu v komplexní rovině). Začáteční důvod volby, resp. předpoklad o tom, že si zvolím nějakou funkci f(x) není asi didakticky nejvhodnější.

Výsledky tohoto typu se dají zásadně zobecnit i na případy, kdy se nejedná o binomické koeficienty, ale o součiny (řekněme) 'binomického typu'. Tím zde ale zatěžovat nebudu.

Brano · 18. 06. 2014 13:27

↑ Marian:
ja som tiez uvazoval tento taylorov rozvoj; aj ked som teda musel chvilku experimentovat kym som sa dostal ku konkretne tejto funkcii

takze neviem o inom postupe;

btw aky integral da ${2n \choose n}$ ?

Marian · 31. 05. 2016 05:14

↑ Brano:

Z komplexní analýzy máme

${n\choose k} =\frac{1}{2\pi\mathrm i}\cdot\int_{|z|=1}\frac{(z+1)^n}{z^{k+1}}\mathrm dz.$

Tím lze výpočet tvé řady redukovat na výpočet integrálu v komplexní rovině.

Matematické Fórum

#1 17. 06. 2014 21:57 — Editoval Brano (17. 06. 2014 21:58)

sucet radu

#2 18. 06. 2014 07:00 — Editoval Marian (18. 06. 2014 07:01)

Re: sucet radu

#3 18. 06. 2014 09:43

Re: sucet radu

#4 18. 06. 2014 11:51

Re: sucet radu

#5 18. 06. 2014 13:27

Re: sucet radu

#6 31. 05. 2016 05:14

Re: sucet radu

Zápatí