Matematické Fórum

Lukáš Ba-mat-fyz · 21. 06. 2014 14:25

Ahojte, prerátavam priklady na statnice a narazil som na priklad, kde sa nejako neviem pohnut.
Zadanie:
Nech $A^2=I$ , $A$ je $3*3$ matica, nediagonalna.
Ulohy:
a)ake su vlastne hodnoty
b)aky je minimalny polynom a charakteristicky polynom
c)aky je Jordanov tvar?

Pripad po $a$ som vyriesil, vlastne cisla mozu byt $\pm1$ . Ale problem nastava, pri rieseni problemov $b$ a $c$ . Neviem s tym nejako pohnut, pretoze neviem ake su ich algebraicke a geometricke nasobnosti. Myslim si, ze to bude jedna z moznosti $1,1,1$ alebo $1,-1,-1$ , ale tu uz nejako neviem, ci mozu nastat obe moznosti a ako potom urcim geometricku nasobnost. Dakujem pekne

vanok · 21. 06. 2014 15:51 — Editoval vanok (22. 06. 2014 11:54)

Ahoj ↑ Lukáš Ba-mat-fyz:,
Tvoje cvicenie je jednoduche, za podmienky, ze si polozis dobre otazky.
Vlastne hodnoty,si dobre urcil, ale ake vlasnosti si na to pouzil?
Co sa tyka minimalneho polynomu, odpoved mas prakticky napisanu v tvojom tretom riadku.( lebo min. polynom je... ) a tiez z toho najdes aj charakteristicky polynom...
Vlastne ta relacia v tretom riadku ti da aj ine cesty riesenia.
A je jej vlastna inverzna matica.... To ti da aj udaje o jej moznom determinante.

Vdaka vlastnym hodnotam, lahko urcis aj vlastne priestory a aj odpoved na otazku c)

A bolo by dobre vediet ako to funguje aj pre ine n, ako n= 3.
Édit : http://en.m.wikipedia.org/wiki/Jordan_normal_form

Xellos · 22. 06. 2014 00:35

↑ Lukáš Ba-mat-fyz:

Podmienka $A^2=I$ je ekvivalentna $A=A^{-1}$ . $A$ v Jordanovom tvare zapiseme ako $A=RJR^{-1}$ , potom

$A^2=RJR^{-1}RJR^{-1}=RJ^2R^{-1}=I$
$J^2=R^{-1}IR=R^{-1}R=I$

Vidime ze $A^2=I \rightarrow J^2=I$ ; zaroven staci zvolit lubovolnu maticu $R$ a ak $J^2=I$ , tak $A^2=(RJR^{-1})^2=I$ . Jordanov tvar je teda $RJR^{-1}$ pre lubovolne $R$ , staci zistit v akom tvare musi byt $J$ .

Jordanov tvar je blokovo diagonalny, takze aby bol svojim inverzom, musi byt kazda jeho Jordanova bunka svojim inverzom. Ked vyratame inverz Jordanovej bunky $J_n$ s vl. cislom $\lambda$ , vidime ze musi byt $n \le 2$ a $\lambda=\frac{1}{\lambda}$ , teda $\lambda^2=1$ ; pre bunku 2x2 zasa zistime ze inv. matica je ina, takze kazda bunka je 1x1 a matica $J$ je diagonalna.

Na druhej strane, kazda diag. matica ktorej vl. cisla splnaju $\lambda^2=1$ (teda pre $\lambda \in\mathbb{C}$ $\lambda=\pm1$ ) vyhovuje rovnici $J^2=I$ . Takych matic je 8, lebo kazdemu diag. prvku mozme priradit 1 alebo -1.

Ked pozname vl. cisla, vieme aj charakteristicky polynom.