Matematické Fórum

Andrejka3 · 21. 06. 2014 20:22

Ahoj.
Věta: $G$ grupa, $X$ množina, $\Phi\colon G\to X$ akce grupy. Pro každé $x\in X$ je $[G:C_x]=|O_x|$ , kde $C_x=\{g\in G;\Phi g x=x\}$ je stabilizátor a $O_x=\{y\in X;(\exists g\in G)(\Phi g x=y)\}$ orbita prvku $x$ .

V důkazu nebo cvičení dělám chybu. Nemůžu ale přijít na to, kde. Napíšu důkaz:
Definujme $b\colon G/C_x \to O_x$ , $gC_x\mapsto \Phi g x$ , kde $G/C_x$ je levý rozklad $G$ podle $C_x$ .
Definice 'b' je korektní: $gC_x=hC_x$ , pak $h^{-1}g\in C_x$ , tedy $1_X x=\Phi (h^{-1}g)x=(\Phi h)^{-1}(\Phi g)(x)$ . Aplikací $\Phi h\circ$ dostaneme $\Phi h x=\Phi g x$ .
Injekce: předchozí implikace lze obrátit.
Surjekce: $y\in O_x$ , pak $(\exists g\in G)(\Phi g x=y)=\ldots b\left( gC_x\right)$ .

Překvapuje mě, že nikde v definici `b' se neprojeví to, že jsem zvolila levý rozklad. Přitom přeci $C_x$ nemusí být normální. Kde dělám chybu? Nebo to je dobře? Díky.

vanok · 21. 06. 2014 21:35

Ahoj, tvoja definicia akcie grup je tiez lava...

Andrejka3 · 21. 06. 2014 21:51

↑ vanok:
Můžeš, prosím, trochu rozvést? Ještě pořád mi to nedochází. Co je na definici akce grupy levého, když to je homomorfismus grupy do symetrické grupy množiny? Jak by byla pak pravá? Díky :)

vanok · 21. 06. 2014 22:14 — Editoval vanok (21. 06. 2014 22:30)

Tu mas definiciu http://en.m.wikipedia.org/wiki/Group_action

A tu maj este podrobnejsie vysvetlenie

Édit
tu zasa najdes suvis medzi definiciou co pouzivas, a tou co je v texte co som dal v odkaze
http://fr.m.wikiversity.org/wiki/Groupe_(mathématiques)/Action_de_groupe

Andrejka3 · 21. 06. 2014 23:03

↑ vanok:
Děkuji mnohokrát. Ozvu se, až to vstřebám.

Andrejka3

Fajn, došlo mi to. Uniklo mi, že při důkazu pro pravý rozklad jsem udělala nesmyslnou operaci. Teď už vidím tu nesymetrii.
PS. A nejhorší bylo, když důkaz i příklad byly 'evidentně' dobře, ale ve sporu (a ještě jsem to musela nechat půlku dne ležet) :D

edit: kde by selhal důkaz pro pravý rozklad.
Definujme $b\colon G/C_x \to O_x$ , $C_xg\mapsto \Phi g x$ , kde $G/C_x$ je pravý rozklad $G$ podle $C_x$ .
Definice 'b' není korektní: $C_xg=C_xh$ , pak $gh^{-1}\in C_x$ , tedy $1_X x=\Phi (gh^{-1})x=(\Phi g)(\Phi h)^{-1}(x)$ . Teď aplikací $\circ(\Phi h)$ (zprava) mohu porušit rovnost, protože není nutně $1_X y=(\Phi g)(\Phi h)^{-1}(y)$ , kde $y=\Phi h x$ .