Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 24. 06. 2014 15:10

Blackflower
Místo: Bratislava
Příspěvky: 1303
Škola: FMFI UK BA, EFM, absolvent 2016
Pozice: aktuár
Reputace:   71 
 

Ľahký integrál

Ahojte,
toto by som ako tretiačka asi mala vedieť, ale akosi nič...
Zadanie: $\int \int \frac{dx dy}{2+x^2+y^2}$ - integruje sa na celom $\mathbb{R}^2$
Myslím, že by sa to malo prehodiť do polárnych súradníc, teda:
$x=r\cos t$
$y=r\sin t$
Tak dostanem integrál $\int \int \frac{r}{2+r^2}drdt$, to sa dá prípadne prepísať na $\int dt \int \frac{r}{2+r^2}dr$, ale neviem určiť medze. Vedel by mi niekto pomôcť?

Prípadne ak by niekomu napadol lepší postup, budem rada.

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jelena)

#2 24. 06. 2014 15:58

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Ľahký integrál

Ahoj,

pokud integruješ na celém R^2, tak bych řekl že r=0...oo; t=0...2pi

Offline

 

#3 24. 06. 2014 16:06

Blackflower
Místo: Bratislava
Příspěvky: 1303
Škola: FMFI UK BA, EFM, absolvent 2016
Pozice: aktuár
Reputace:   71 
 

Re: Ľahký integrál

↑ Hanis: Asi áno... a myslíš, že by mohol byť výsledok nekonečno? Vychádza mi to takto:
$\int_{0}^{2\pi}dt \int_{0}^{\infty} \frac{r}{2+r^2}dr=|s=r^2,rdr=\frac12ds|=2\pi \int_{0}^{\infty} \frac12 \frac{1}{2+s}ds$

Offline

 

#4 24. 06. 2014 21:42

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Ľahký integrál

Zdravím,

↑ Blackflower:

pokud jsem nic nepřehlédla, tak můžeš použit i substituci $2+r^2=s$, ale to je jen drobný detail. Spíš ve výsledku bych nenapsala, že integrál je nekonečno, ale že integrál (vnitřní po ds počítaný jako nevlastní) diverguje. Jako vidíš? A odborný kolega ↑ Hanis:? Děkuji.

Offline

 

#5 24. 06. 2014 21:45

Blackflower
Místo: Bratislava
Příspěvky: 1303
Škola: FMFI UK BA, EFM, absolvent 2016
Pozice: aktuár
Reputace:   71 
 

Re: Ľahký integrál

↑ jelena: Čiže teoreticky by som mohla počítať niečo ako $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n}...$? Táto limita by teda vyšla nekonečno (ak si dobre pamätám, takto nejako znie veta o tom, kedy integrál konverguje/diverguje).

Offline

 

#6 24. 06. 2014 21:50

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Ľahký integrál

↑ Blackflower:

no řekla bych, že to jinak ani "počítat" nejde, než s použitím limity (a k nekonečnu se závěrem, že diverguje), jak jsi napsala. Tak, jak jsi uvedla v 1. příspěvku, to je originál úlohy a ve které části úloh se vyskytl?

Offline

 

#7 24. 06. 2014 21:53 — Editoval Blackflower (24. 06. 2014 21:54)

Blackflower
Místo: Bratislava
Příspěvky: 1303
Škola: FMFI UK BA, EFM, absolvent 2016
Pozice: aktuár
Reputace:   71 
 

Re: Ľahký integrál

↑ jelena: Áno, to bolo vlastne celé zadanie - vypočítať integrál $\int \int \frac{dx dy}{2+x^2+y^2}$. Nepamätám si úplne presne, ako to bolo zadané, ale určite tam nebolo niečo v zmysle "zistite, či integrál konverguje".

Offline

 

#8 24. 06. 2014 22:08

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Ľahký integrál

↑ Blackflower:

ano, to je celkem možné, např. ve sbírce Eliaše v kapitole "Nevlastní vicerozměrný integrál" je skupinka úloh
"V úlohách 800 až 807 vypočítejte: $\iint_{E_2}\frac{\d x\d y}{1+x^2+y^2}$" atd.

Tedy počítat jako nevlastní (v tomto případě se závěrem "diverguje").

Offline

 

#9 24. 06. 2014 22:09

Blackflower
Místo: Bratislava
Příspěvky: 1303
Škola: FMFI UK BA, EFM, absolvent 2016
Pozice: aktuár
Reputace:   71 
 

Re: Ľahký integrál

↑ jelena: Ok, nabudúce budem vedieť :) ďakujem :)

Offline

 

#10 24. 06. 2014 22:10

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Ľahký integrál

↑ Blackflower:

nemáš za co, raději se ještě podívej i na teorii okolo.

Offline

 

#11 24. 06. 2014 23:46

Hanis
Veterán
Místo: Brno
Příspěvky: 2650
Škola: PřF MUNI - Statistika a analýza dat
Pozice: Děvče pro všechno
Reputace:   148 
 

Re: Ľahký integrál

Souhlasím.

Offline

 

#12 24. 06. 2014 23:59

jelena
Jelena
Místo: Opava
Příspěvky: 30020
Škola: MITHT (abs. 1986)
Pozice: plním požadavky ostatních
Reputace:   100 
 

Re: Ľahký integrál

↑ Hanis:

děkuji, označím za vyřešené.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson