Matematické Fórum

:D · 01. 07. 2014 19:27

Ahoj.

Tak si trochu počítam a neviem či robím niekde chybu, ale je to pri najmenšom zvláštne.
Magmou rozumieme Množinu E spolu s binárnou operáciou. Homomorfizmus medzi magmami je definovaný analogicky ako v teórii grúp.

Zrejme prirodzené čísla spĺňajú definíciu magmy ako pre operáciu sčitovania, tak aj pre operáciu násobenia.
Vezmime si magmu (N,+) a zobrazenie násobenie nasledovne:
$\cdot :(N,+)\times(N,+)\to(N,+), (a,b)\mapsto \cdot (a,b) = a\cdot b$
Chceme, aby operácia $\cdot$ bola homomorfizmus v prvej a potom aj v druhej premennej;
$(a+b)\cdot c=\cdot (a+b,c)=\cdot (a,c)+\cdot (b,c)= ac+bc$ , teda pravý distributívny zákon. Podobne sa urobí ľavý distributívny zákon.

Teraz opačne. Majme magmu $(N,\cdot)$ . Požadujme, aby binárna operácia + bola distributívna v prvej premennej.
Najskôr: $+:(N,\cdot)\times(N,\cdot)\to(N,\cdot), (a,b)\mapsto +(a,b)=a+b$
Požiadavka homomorfizmu: $ab+c=+(ab,c)=+(a,c)\cdot +(b,c)=(a+c)\cdot(b+c)$
Tu je tá "zvláštnosť". Očakával som, že to vyjde rovnako. Hoci mám pocit, že tento "vzorec" som už niekde zahliadol ...

Môžete mi k tomu niečo povedať?

Ďakujem.

Rumburak · 02. 07. 2014 11:06

↑ :D:

Ahoj.
Tím, že každý z operátorů $+, .$ používáš ve dvou významech, se mi situace jeví jako poněkud nepřehledná.
Zkus pro "nové" operace použít nová označení a možná že to pak bude jasnější.

:D · 09. 07. 2014 19:03

Prirodzené čísla so sčitovaním $(\mathbb{N}, +)$ tvoria magmu, označme ju $M_+$ .
Prirodzené čísla s násobením $(\mathbb{N}, \cdot)$ tvoria magmu, označme ju $M_\cdot$ .

Uvažujme zobrazenie $*:M_+\times M_+\to M_+$ definované ako $*(a,b)=a*b$ . (binárna operácia)
Chceme, aby spĺňalo požiadavku homomorfizmu v oboch premenných. Teda:
$*(a+b,c)=*(a,c)+*(b,c)$ , čo je $(a+b)*c=a*c+b*c$ . Podobne v druhej premennej.

Teraz uvažujme zobrazenie $\circ :M_\cdot \times M_\cdot \to M_\cdot$ definované ako $\circ (a,b)=a\circ b$ .
Znovu, požiadavka homomorfizmu v oboch premenných:
$\circ (a\cdot b,c)=\circ(a,c)\cdot \circ (b,c)$ , teda $(a\cdot b)\circ c=(a\circ c)\cdot(b \circ c)$ .

Nech teraz $*=\cdot$ , teda nech zobrazenie $*$ je zobrazenie $\cdot$ . Len prepíšem rovnosť:
$(a+b)\cdot c= a\cdot c + b\cdot c$ .

Podobne, nech $\circ=+$ . Prepíšem rovnosť: $(a\cdot b)+c=(a+c)\cdot (b+c)$ .

Vyšlo niečo iné, hoci máme rovnaké operácie. Prečo? A posledná rovnosť v prirodzených číslach ani neplatí.

Andrejka3

↑ :D:
Ahoj.
Nechť $M$ je neprázdná množina, $\odot$ a $*$ jsou binární operace na $M$ .
Pro libovolné $a\in M$ označme $L^*_a\colon M\to M$ , $m\mapsto a*m$ , podobně $L^{\odot}_a$ ,
analogicky, $P^*_a\colon M\to M$ , $m\mapsto m*a$ ...
Požadavek $(\forall a\in M)(L_a^*\colon (M,\odot)\to (M,\odot))$ , to je aby všechny tyhlety fce byly homomorfismy je ekvivalentní
$(\forall a\in M)(\forall m\in M)(\forall n\in M)(L_a^*(m\odot n))=a*(m\odot n)=(a*m)\odot (a*n)=(L_a^*m)\odot (L_a^*n)$ , tedy že operace $*$ je distributivní zleva k operaci $\odot$ (to není symetrické tvrzení vzhledem k oběma operacím).
Analogicky pravá distributivita je ekvivalentní tomu, že $(\forall a\in M)(P^*_a\text{ homomorfismus})$ .

Zkrátka, nevidím tam problém.

edit: i když, možná jsem to nepochopila, ještě si to projdu.