Matematické Fórum

TerezaG · 23. 07. 2014 19:07

Zdravím, zase budu otravovat :(

Mám za úkol:

Nechť je funkce z=z(x,y) definovaná v okolí bodu [1,1,1] jako řešení rovnice $x^2-y^2=z^3-xyz$ , najděte její Taylorův polynom druhého řádu se středem v bodě [1,1].

Potřebovala bych poradit, jaký vzorec pro dosazení pro Taylorův polynom mám použít. Jinak chápu, že budu derivovat poprvé, podruhé, pak ještě smíšeně. (nemusíme řešit konkrétní příklad, chtěla bych jen obecnou radu).

Měla jsem i příklad, kde jsem dosazovala do vzorce:

$f(x)=\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})$ což tady nemůžu, nebo možná, ale nevím, jak. Vím, že by se mělo jednat o vzorec, kde jsou nějaká kombinační čísla, ale do ničeho mi to nesedí.

Pokud poradíte, potřebovala bych vědět, jak poznám, co kdy použít :)

A také nemám nějak představu, co vlastně Taylorův polynom dělá, ve skriptech jsem našla nějaké změny křivek, ale moc tomu nerozumím. Většinou pochopím cokoliv až z obrázku :/

Mnohokrát děkuji :)

Brano · 24. 07. 2014 08:02 — Editoval Brano (24. 07. 2014 08:04)

$T_2z_{(x_0,y_0)}(x,y)=z(x_0,y_0)+z'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+z'_y(x_0,y_0)(y-y_0)+$
$+\frac{1}{2}z''_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+z''_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+\frac{1}{2}z''_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2$

Bati · 24. 07. 2014 10:10

Ahoj.
Poznámka: Taylorův polynom funkce více proměnných lze napsat formálně ve stejném tvaru jako pro jednu proměnnou, a to použitím multi indexové notace - viz
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_ser … _variables
a
http://en.wikipedia.org/wiki/Multi-index_notation

aww · 10. 08. 2014 17:55

↑ TerezaG:

Ahoj, když to řeknu hloupě, tak Taylorův polynom nahrazuje nějakou funkci funkcí novou, která je složená z polynomů. Takže třeba sin, cos, tg můžeme díky němu popsat pomocí polynomu. Jeden obrázek vydá za tisíc slov.

To červené je funkce cosinus. Ostatní jsou Taylorovi polynomy různého stupně. Můžeš si všimnout, že čim vyšší stupeň toho polynomu, tak tím víc se blíží té skutečné funkci.

Matematické Fórum

#1 23. 07. 2014 19:07

Taylorův polynom II. řádu.

#2 24. 07. 2014 08:02 — Editoval Brano (24. 07. 2014 08:04)

Re: Taylorův polynom II. řádu.

#3 24. 07. 2014 10:10

Re: Taylorův polynom II. řádu.

#4 10. 08. 2014 17:55

Re: Taylorův polynom II. řádu.

Zápatí