Matematické Fórum

Jasque · 24. 07. 2014 09:47

Ahoj, poradíte mi prosím, jak na tento příklad? Buď si jen někde dělám početní chybku a nebo netuším správnou cestu . . .

$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2}}{x^2-3x+2}$

Díky moc

Jj · 24. 07. 2014 09:57

↑ Jasque:

Dobrý den, řekl bych, že pomůže rozšířit zlomek výrazem $(\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2})$ a upravit.

Jasque · 24. 07. 2014 10:12

↑ Jj:

Mohl bych požádat o další krok? V následujících úpravách se ztrácím.

Jj · 24. 07. 2014 10:23 — Editoval Jj (24. 07. 2014 10:24)

↑ Jasque:

$\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2}}{x^2-3x+2}\cdot \frac{\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2}}{\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2}}=$

$\lim_{x\to2}\frac{(\sqrt{3+x+x^2})^2-(\sqrt{9-2x+x^2})^2}{(x-2)(x-1)}\cdot \frac{1}{\sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2}}=$

Jmenovatel druhého zlomku se pro x = 2 nerovná nule, takže upravit první zlomek.

Rumburak · 24. 07. 2014 10:32

↑ Jasque:

Ahoj.

Rošířením zlomku $\frac{\sqrt{3+x+x^2}-\sqrt{9-2x+x^2}}{x^2-3x+2}$ výrazem $f(x) := \sqrt{3+x+x^2}+\sqrt{9-2x+x^2}$
dostaneme $\frac{1}{f(x)}\cdot \frac{g(x)}{h(x)}$ , kde $h(x)=x^2-3x+2$ a $g(x)$ je rovněž polynom, jehož přesný tvar si
jistě snadno dopočítáš.

Platí $f(2) \ne 0$ , avšak číslo $2$ je stále společným kořenem polynomů $h, g$ , tudíž tyto polynomy jsou oba
dělitelné polynomem $x-2$ , jímž nutno zlomek $\frac{g(x)}{h(x)}$ vykrátit. Dojedeme tak k funkci spojité v bodě $2$ .