Matematické Fórum

jelena · 04. 08. 2014 11:34

Úloha 3) - vyčleněno z tématu od kolegy Petr Melán.

určete def. obor D(f) a obor hodnot h(f) pro funkci $y=-3x+1$ , $x \in (-1;\,2)$

Rumburak napsal(a):
↑↑ Petr Melán:

Ahoj.

Ke zjišťování oboru hodnot funkce: vyčíst ho z grafu lze snadno a rychle, pokud funkce je dostatečně jednoduchá,
avšak z přísnějšího pohledu není považováno za korektní opírat matematická řešení pouze o nějaké náčrtky,
proto bychom měli umět vyřešit úlohu i ryze analytickou cestou. Naznačim to na úloze č. 3.

Máme funkci $f(x) :=-3x+1$ s předepsaným definičmím oborem $D(f) := (-1,2)$ . Máme zjistit
množinu $H(f)$ , tedy obor hodnot funkce $f$ . K tomu je třeba si uvědomit obecnou definici oboru hodnot funkce $f$ .
Tato definice říká:

$y \in H(f)$ právě tehdy, když existuje $x \in D(f)$ takové, že $f(x) = y$ .

Vyšetřit množinu $H(f)$ tedy jinými slovy znamená: vyšetřit, pro které hodnoty parametru $y$ má rovnice $f(x) = y$
s neznámou $x$ aspoň jeden kořen v $D(f)$ .

V případě úlohy 3 to tedy znamená: určit všechny hodnoty parametru $y$ , pro které má rovnice

(1) $-3x+1 = y$

aspoň jeden kořen v $(-1,2)$ . Z rovnice (1) snadno vyjádříme její jediný kořen

(2) $x = x(y) = -\frac {y - 1}{3}$ ,

pro který chceme, aby platilo $x \in (-1,2)$ , což prostřednictvím (2) vede ke složené nerovnici

$-1 < -\frac {y - 1}{3} < 2$

pro neznámou $y$ .

Matematické Fórum

#1 04. 08. 2014 11:34

Lineární funkce (obor hodnot a def. obor) - úloha 3 od Petr Melán

Rumburak napsal(a):

Zápatí