#1 07. 08. 2014 11:38
Sucet rady
Pozdravujem,
Male prazdninove cvicenie.
Dokazte, ze rada ![$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{[\sqrt {n+1}]-[\sqrt n]} n$](/mathtex/07/07186708a4b88a128dbda75f55266bd9.gif "kopírovat do textarea")
je konvergentna a potom najdite jej sucet.
([n], oznacuje celu cast cisla n)
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline
#2 07. 08. 2014 13:54 — Editoval Brzls (07. 08. 2014 14:09)
Re: Sucet rady
Zdravím
Na tom součtu ještě pořád pracuju, ale aspoň by mě zajímalo jestli je správná tato úvaha o konvergenci.
je klesající s limitou 0. Proto existuje celé číslo m takové, že pro 
(ty nerovnosti jsem tam chtěl dát ostré, nevím jak se to dělá...)![$b_{n}=[\sqrt {n+1}]-[\sqrt n]$](/mathtex/7a/7ade00d0cc13840420fb15bb561e13a3.gif "kopírovat do textarea")
(uvažujeme jen členy od m nahoru) jsou takové, pro které platí 
kde A je celé číslo. Navíc pro takové členy je 
![$\sum_{n=m}^{\infty }\frac{[\sqrt {n+1}]-[\sqrt n]} n=\sum_{A=B}^{\infty }\frac{1}{A^{2}-1}=\frac{1}{2}\sum_{A=B}^{\infty }(\frac{1}{A-1}-\frac{1}{A+1})$](/mathtex/aa/aa2fb44627e7b3103e0cf1c33794c69b.gif "kopírovat do textarea")
Edit: Ten součet:
, je to tak?Offline
#3 07. 08. 2014 14:32 — Editoval vanok (07. 08. 2014 14:47)
Re: Sucet rady
Ahoj ↑ Brzls:,
Vyborne, tvoj dokaz je dobry.
Tvoje riesenie sa podstatne zjednodusi ak si uvedomis, ze ![$[\sqrt {n+1}]-[\sqrt n] $](/mathtex/09/09e2b36e301d22ddd37f2fc110f646bf.gif "kopírovat do textarea")
je 0 pre vsetki n az pre n ktore su formy 
. Co si skutocne vyuzit.
Osobne by som v rieseni skor pouzil zapis takehoto typu![$\sum_{n=1}^{N}\frac{[\sqrt {n+1}]-[\sqrt n]} n=\sum_{2 \le k \le \sqrt {N+1}}^{} \frac 1 {k^2-1}=...$](/mathtex/51/519bca02be3e9b38fa432db43f33e20c.gif "kopírovat do textarea")
Poznamka: ak sa kolegom pacia trochu zaujimave cvicenia, mozem pokracovat...
Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT
Offline