Matematické Fórum

vanok · 07. 08. 2014 23:38

Pozdravujem,
Dalsie prazdninove cvicenie.
Bud $(a_n)$ jedna striktne kladna postupnost.
Definujme postupnost $(b_n)$ tak, ze $b_0 \in ]0, \frac {\pi } 2[$ a pre
kazde $n \ge 0$ , $b_{n+1}= Arctan (a_n + tan (b_n))$ .
Dokazte, ze postupnost $(b_n)$ konverguje len a len ak rad $\sum a_n$ konverguje.

Lukáš Ba-mat-fyz

ahooj ↑ vanok:

Ja len tak skúsim ale tým, že to je $arctg(x)$ ktorý je od $(-\pi/2;\pi/2)$ pre $\forall x$ tak to potom nie je jednoznačne dané? Teda pokiaľ zápis $b_0 \in ]0, \frac {\pi } 2[$ neznamená niečo špeci, čo nepoznám :)

vanok · 08. 08. 2014 10:18

Ahoj ↑ Lukáš Ba-mat-fyz:,
$]0, \frac {\pi } 2[$ znamena otvoreny interval ...0, pi/2 .
Treba maly navod?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Bati · 08. 08. 2014 21:05

Ahoj,
zadané tvrzení neplatí, stačí zvolit např. $a_n:=1>0\quad\forall n$ , $b_0:=\tfrac{\pi}4$ . Potom $b_n=\text{arctan}(n+1)\to\tfrac{\pi}2$ , ale $\sum a_n=+\infty$ .

Ve skutečnosti platí, že

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Brano · 08. 08. 2014 21:18

↑ vanok:↑ Bati:

hmm... mozno to bolo myslene tak, ze $b_n$ ma konvergovat k cislu $b<\pi/2$ ...

vanok · 09. 08. 2014 00:02 — Editoval vanok (09. 08. 2014 00:10)

Moj dokaz:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

jarrro · 09. 08. 2014 09:55

↑ vanok:lenže $l=\lim_{n\to\infty}{b_n}$ môže byť aj $\frac{\pi}{2}$ a vtedy
$\sum_{k=0}^{\infty}{a_k}=\infty$ teda nekonverguje

vanok · 09. 08. 2014 11:45

Ahoj ↑ jarrro:,
Ano tento pripad treba vylucit.

jarrro · 09. 08. 2014 11:56 — Editoval jarrro (09. 08. 2014 12:02)

↑ vanok:čiže tvrdenie by malo asi byť
$\lim_{n\to\infty}{b_n}<\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}<\infty$
je to tak?
aj keď na dokázanie tejto ekvivalencie je potrebné ukázať, že ak je
$\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}<\infty$
tak nemôže byť $\lim_{n\to\infty}{b_n}=\frac{\pi}{2}$
je to vôbec pravda?

vanok · 09. 08. 2014 12:46 — Editoval vanok (09. 08. 2014 13:00)

↑ jarrro:,
Zda sa mi ze dobra formulacia ( akoze $b_n$ su kladne nenulove, a tvoria rastucu postupnost) sa moze napisat takto,
$\lim_{n\to\infty}{b_n} \in ]0,\frac{\pi}{2}[ \Leftrightarrow\sum_{n=0}^{\infty}{a_n}<\infty$ !
( tvoja poznamka na konci tvojho prispevku da ten spor co ty a kolegovia vyssie poznamenali)

Omluvam sa ze bolo treba zlepsit text cvicenia, i ked niekedy z nepresnych textov sa da niekedy vela naucit.
Tiez dakujem vsetkym tym, co zaujalo toto cvicenie.

Bati · 09. 08. 2014 13:32

↑ vanok:

vanok napsal(a):
... niekedy z nepresnych textov sa da niekedy vela naucit.

S tím naprosto souhlasím. Musím se přiznat, že zprvu jsem postupoval stejně, jako v tvém důkazu. Až později jsem si uvědomil, že tvrzení v původní formulaci neplatí.

Matematické Fórum

#1 07. 08. 2014 23:38

Dalsia rada

#2 08. 08. 2014 09:04 — Editoval Lukáš Ba-mat-fyz (08. 08. 2014 09:06)

Re: Dalsia rada

#3 08. 08. 2014 10:18

Re: Dalsia rada

#4 08. 08. 2014 21:05

Re: Dalsia rada

#5 08. 08. 2014 21:18

Re: Dalsia rada

#6 09. 08. 2014 00:02 — Editoval vanok (09. 08. 2014 00:10)

Re: Dalsia rada

#7 09. 08. 2014 09:55

Re: Dalsia rada

#8 09. 08. 2014 11:45

Re: Dalsia rada

#9 09. 08. 2014 11:56 — Editoval jarrro (09. 08. 2014 12:02)

Re: Dalsia rada

#10 09. 08. 2014 12:46 — Editoval vanok (09. 08. 2014 13:00)

Re: Dalsia rada

#11 09. 08. 2014 13:32

Re: Dalsia rada

vanok napsal(a):

Zápatí