Matematické Fórum

Alen93 · 08. 08. 2014 09:25

Ahoj, chtěla bych se zeptat jak byste řešili takovýto příklad. Jde o to nakreslit graf funkce.

$y=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}$

Moc všem děkuji.

Lukáš Ba-mat-fyz

ahoooooooooj ↑ Alen93:

Tak jedna možnosť, pre mňa to bolo vždy to najrýchlejšie je dosadiť si nejaké body a potom pospajať a uvidíš tam aj aký to bude mať tvar.
Druhá možnosť, ideálna, je upraviť to na štvorec, to jest $c*(x-b)^2+d$ , nemusí tam byť to $c$ , ale v tvojom prípade sa hodí, a potom tam uvidíš vrchol(ten ma suradnice $[b,d]$ ),sklon rastu/poklesu.

Freedy · 08. 08. 2014 12:06

Ahoj,

jedná se o zápis nějaké kuželosečky a vzhledem k tomu že je jedna neznáma v lineárním tvaru a druhá se vyskytuje i v kvadrátu, tak se jedná o parabolu.
Stačí danou "rovnici" upravovat postupně:
$y=\frac{x^2}{3}-\frac{2x}{3}-\frac{8}{3}$ vynásobit 3
$3y=x^2-2x-8$
Pravou stranu upravit na čtverec:
$3y=x^2-2x+1-9$
$3y+9=(x-1)^2$

Vrcholová rovnice paraboly vypadá takto:
$2p(y-y_0) = (x-x_0)^2$ pro p > 0 je parabola otevřená doprava, pro p < 0 doleva
(resp., $2p(x-x_0) = (y-y_0)^2$ pro p > 0 otevřená nahoru, pro p < 0 dolů)

Rovnice $3y+9=(x-1)^2$ lze tedy ještě upravit na tvar:
$3(y+3)=(x-1)^2$
Z toho je vidět, že vrchol paraboly je v bodě: $V[1;-3]$
2p je zde 3, čili p = 3/2. Řidicí přímka je daná rovnicí:
$y=y_0-\frac{p}{2}$ , čili zde to bude $y=-3-\frac{3}{4}=\frac{-15}{4}$
Ohnisko získáme tak že místo odečtení p/2 jej přičteme:
$F[x_0;y_0+\frac{p}{2}]$
$F[1;-\frac{9}{4}]$ .

Díky ohnisku, řidící přímce, vrcholu paraboly, lze získat vše. Ovšem přes dosazovací tvar se to může zdát být rychlejší. Toto je čistě analytické řešení.

Matematické Fórum

#1 08. 08. 2014 09:25

Graf funkce

#2 08. 08. 2014 09:29 — Editoval Lukáš Ba-mat-fyz (08. 08. 2014 09:33)

Re: Graf funkce

#3 08. 08. 2014 12:06

Re: Graf funkce

Zápatí