Matematické Fórum

aww · 09. 08. 2014 18:38

Zdravim,už jsem tu jednou dávno kvůli transformacím psal, ale vrátil jsem s k tomu a mám pomocí tranformace do nových nezávisle proměnných u=2x+3y a v=2x-3y zjednodušit vlnovou rovnici $\frac{\partial^2f }{\partial x^2}(x,y) + \frac{4}{9} \frac{\partial^2f }{\partial y^2 }(x,y)=0$ Předpokládejme že f má všechny derivace druhého řádu spojité.

Četl jsem tu na fóru plno vláken, ale pořád nevim jak na to.
První derivaci snad ještě spočítám.

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial v}{\partial x}$

zderivuje se u a v podle x

$u=2$
$v=2$

a dosadí se
$\frac{\partial f}{\partial x}=2\frac{\partial f}{\partial v}+2\frac{\partial f}{\partial u}$

a pak mi to mozek už přestává pobírat.
Mohl by mi někdo pomoct s dalším krokem?

Bati · 09. 08. 2014 19:27

Ahoj,
pro zkrácení budu parc. derivace značit $f_x$ , $f_{yy}$ apod. Ujasněme si, o co tu jde. Chceme zjednodušit danou rovnici $f_{xx}+\tfrac49f_{yy}=0$ . To uděláme tak, že všechny výskyty funkce $f$ a jejích derivací nahradíme nově vhodně definovanou funkcí $g$ (a jejími derivacemi). Víš, že bys měl použít nové souřadnice $u=2x+3y$ a $v=2x-3y$ , tj. chceš, aby platilo $f(x,y)=g(u,v)=g(2x+3y,2x-3y)$ - tuto rovnici je dobré si vždy napsat, pak už je to mechanické derivování. Např. vidíme, že budeme potřebovat nahradit $f_{xx}$ , takže spočteme nejprve $f_x$ :
$f_{x}=g_u u_x+g_v v_x=2g_u+2g_v$ (porovnej se svojí derivací - po transformaci už tam nemůže být funkce f) Potom $f_{xx}$ :
$f_{xx}=2g_{uu} u_x+2g_{uv} v_x+2g_{vu} u_x+2g_{vv} v_x=4g_{uu}+4g_{uv}+4g_{vu}+4g_{vv}=4g_{uu}+8g_{uv}+4g_{vv}$ .
A podobně pro $f_{yy}$ .
Dosazením těchto derivací do původní rovnice by se toho mělo hodně zkrátit a vyjít nějaký kanonický tvar.

Pokud by tě zajímalo, jak zvolit vhodnou transformaci, která převede obecnou semilineární PDR 2. řádu do jejího kanonického tvaru, můžu poskytnout další informace.