Matematické Fórum

Zkusím tu druhou úlohu:

Kružnici popíšeme parametrickými rovnicemi   x  =  r * cos t  , y = r * sin t   ,  kde   t  probíhá  <0, 2*Pi) .
V bodě P si představme testovací náboj velikosti  q > 0 .

Uvažujme na horní půlkružnici  krátký oblouk délky ds,  jehož středem (ve smyslu "střed okolí") je bod [x,y] ležící na této půlkružnici.
Oblouku ds přísluší náboj velikosti  (Q / (Pi*r) ) * ds  ,  od něhož je náboj umístěný v počátku odpuzován Coulombovou silou velikosti
       
                     (K / (r^2)) * q * (Q / (Pi*r)) * ds   ,

tedy vektorově

(1)               dF =  - (K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * (x, y) * ds                                             

(znaménko minus je tam proto, že jde o odpudivou sílu) , K je konstanta z Coulombova zákona.
Obdobně protilehlý oblouk délky ds odpovídající bodu (-x, -y)  na dolní půlkužnici působí na testovací náboj  q  přitažlivou silou

(2)               dG =   (K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * (-x, -y) * ds   =  dF .                                         

(Záporné znaménko u náboje Q jsme zohlednili úsudkem, že jde o přitažlivou sílu.)  Tedy

(3)      dF + dG =  2*dF =  - (2*K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * (x, y) * ds  = - (2*K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * r*(cos t, sin t) * r*dt  =   

                   =  - (2*K / (r^2)) * q * (Q / (Pi)) * (cos t, sin t) * dt   .

což zitegrujeme od 0 do Pi a získáme vektor celkové síly

                     H =  - (2*K / (r^2)) * q * (Q / (Pi)) * (0, 2)

působící na středový testovací náboj  q > 0  .   Nyní to vydělíme  nábojem q a získáme vektor intensity

                     E =  - (2*K / (r^2)) * (Q / (Pi)) * (0, 2) ,

jehož x-ová složka je 0   a y-ová (po úpravě)   - (4*K / (Pi*r^2)) * Q  . Doufám, že ve výpočtu není chyba.


EDIT: Teď vidím, že jsem se nechal zmást obrázkem (a)  - omlouvám se -  předchozí výpočet platí, je.-li tyč ohnuta do CELÉ kružnice dle (a).
Pro výpočet dle (b) zůstává v platnosti vzorec (1), místo (2) je ale nutno vzít

(2')                dG =   (K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * (x, -y) * ds     ,

místo rovnice (3)

(3')      dF + dG =  - (K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * (x, y) * ds  +  (K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * (x, -y) * ds  =

                        =   (2*K / (r^3)) * q * (Q / (Pi*r)) * (0, -y) * ds  =  (2*K / (r^2)) * q * (Q / (Pi)) * (0, -sin t) * dt   .

Integrací od  Pi/2  do Pi  poslední rovnice obdržíme

             H = F + G  = (2*K / (r^2)) * q * (Q / (Pi)) * (0, -1) ,

dále obdobně jako v předchozím případě, takže x-ová složka intensity E  je 0 , y-ová  (po úpravě)   - (2*K / (Pi*r^2)) * Q .

rumburak diky;-), jelena OK:-)