Matematické Fórum

Duckinjelly · 20. 08. 2014 23:11

Zdravim vazeni. Vi nekdo jak bych mela vyresit nasledujici priklad? (potrebovala bych nejake podrobnejsi vysvetleni). Predem dekuji :)

Urcete intervaly monotonie:
$f(x)=\frac{ln(x)}{x^{2}}$

Freedy · 20. 08. 2014 23:40 — Editoval Freedy (21. 08. 2014 00:34)

Ahoj,

intervaly monotonie je myšleno kde daná funkce roste, klesá, popřípadě je konstantní.
Nechť f je funkce spojitá na nějakém intervalu $\langle a;b\rangle$ a zároveň diferencovatelná na intervalu $(a;b)$ .
Definujme intervaly $\langle c;d\rangle$ a $\langle e;f\rangle$ , které leží v intervalu $\langle a;b\rangle$
Potom platí:
Je-li $f'(x)>0$ na intervalu $(c;d)$ potom je funkce rostoucí na intervalu $\langle c;d\rangle$
Je-li $f'(x)<0$ na intervalu $(e;f)$ potom je funkce klesající na intervalu $\langle e;f\rangle$

Duckinjelly · 21. 08. 2014 19:37

Takze zjistim difinicni obor Df=<1;+nekonecno)
Pak udelam prvni derivace... a jak zjistim kde ta derivce vetsi/mensi nuly? mela bych tam neco dosadit z difinicniho oboru?
↑ Freedy:

Freedy · 21. 08. 2014 22:03 — Editoval Freedy (22. 08. 2014 11:33)

Ahoj,

zkus si do původní funkce dosadit například 1/2. Očividně tam není žádný problém, v tvém definičním oboru však není. Proč? Oprav Df.

Intervaly monotonie zjistíš tak, že zderivuješ funkci, na které hledáš tyto intervaly.
$f(x)=\frac{\ln x}{x^2}$
Derivace podílu dvou funkcí je: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$
Proto: $(\frac{\ln x}{x^2})'=\frac{x^2\cdot\frac{1}{x}-2x\ln x}{x^4}=\frac{1-2\ln x}{x^3}$
Nyní stačí zjistit, kde je funkce: $f'(x)=\frac{1-2\ln x}{x^3}$ kladná.
Položíš ji tedy do nerovnice a vyřešíš:
$\frac{1-2\ln x}{x^3}>0$

Jelikož je daná funkce definována pouze v kladných číslech, můžeme celou rovnici vynásobit x^3 a neporušit nerovnici.
$1-2\ln x>0$
$\ln x<\frac{1}{2}$
Pokud by z tohoto stále nebylo jasné, jaký interval to je, můžeš ještě celou rovnici odlogaritmovat:
$x<e^{\frac{1}{2}}$
$x<\sqrt{e}$
Interval, na kterém je funkce $f'(x)$ kladná je tedy: $(0;\sqrt{e})$ čili na tomto intervale je funkce $f(x)$ rostoucí.
Zbýva tedy interval: $I=(\sqrt{e};\infty )$ . Na tomto intervalu je $f'(x)$ záporná a proto na něm funkce $f(x)$ klesá.

EDIT: ↑ hew.hois: díky za opravu, chybička se vloudila.