Matematické Fórum

Vyjádření desetinného čísla ve tvaru zlomku možná znáte. Tak např. číslo 0,3... (předpokládejme, že tři tečky naznačují periodu). Pomocí jednoduchého postupu jej vyjádříme jako zlomek snadno. Řekněme, že bude platit vztah a = 0,3... Potom 10a = 3,3..., tudíž 9a = 10a - a, tedy 3,3... - 0,3... Dostáváme vztah 9a = 3. Po dělení číslem 9 nakonec získáme a = 1/3 (tedy jedna třetina). Tímto způsobem lze vyjádřit i další taková čísla, jako třeba 0,1... atd.
Podívejme se však na číslo 0,9... Pokusíme se jej převést na zlomek pomocí již známého postupu, algoritmu. Nechť je a = 0,9... Pak 10a = 9,9..., odtud 9a = 9. Jenže když teď obě strany rovnice vydělíme číslem 9, dostáváme vztah a = 1 (neboli 1/1). To je však na první pohled zřejmý nesmysl. Kde je tedy chyba?
Zvláštní ale je, že je tento vztah vlastně správný. Proč? Pokud jste si zkoušeli vyjádřit výše zmíněné číslo 0,1... jistě vám vyšel zlomek 1/9, tedy vztah a = 1/9. A když rovnici vynásobíme číslem 9, dostáváme 1. Čili je-li a = 0,1... pak 9a = 0,9... Zajímavé.