Matematické Fórum

aww · 25. 08. 2014 11:32

Zdravim, řeším diferenciální rovnici a mám problém se vzorečkama. Konkrétně:

$y''-2y'+5y=cos(x)$

$r=1\pm 2i$

$y_h=e^x(C_1 cos(2x)+C_2sin(2x))$

Nejprve jsem to zkusil přes variaci konstant, to vedlo k integrálu, který bych bez pomoci nespočetl, tak proč nevyužít speciální pravou stranu.

V tomto pdfku na straně 4 je tabulka vzorečků, našel jsem si odpovídající a vydedukoval, že by $y_p$ měla vypadat takto

$y_p=x(A cos(x)+B sin(x))$

ale podle mav, je takto

$y_p= A cos(x)+B sin(x)$

Můžu se zeptat, kde je pravda? Nebo jsem to z toho pdfka špatně pochopil? Popřípadě, kde naleznu vzorce podle kterých bych se měl držet. Jelikož mě mate i to, že napíšou $r=\pm ib$ ale pak do vzorce dosazují z uplně odlišného $b$ , konkrétně z pravé strany.

jarrro · 25. 08. 2014 14:10 — Editoval jarrro (25. 08. 2014 14:16)

pokiaľ nekoliduje tvar bez x s tvarom všeobecného riešenia s nulovou pravou stranou tak nie je dôvod ho tam dávať (neviem či by to v takom prípade aj nebolo okrem zťaženia aj znemožnenie)
x by sa pridalo keby tá pravá strana bola v tomto prípade bola $\cos{$\color{red}2\color{black}x$}$
(potom by dvojky boli pri všetkých sin aj cos) prípadne keby imaginárne časti koreňov charakteristického polynomu mali absolútnu hodnotu 1

aww · 25. 08. 2014 17:16

↑ jarrro:
Dobrá, pochopil jsem to, děkuju. Kdyžtak sem napíšu, kdybych se zasekl, máte pravdu, že je to neřešitelné, když se tam to x přidá v tomto případě.

aww · 26. 08. 2014 16:19

Tak jsem tento příklad zdárně vyřešil, avšak narazil jsem na menší zádrhel u dalších dvou příkladů.

Příklad $y''+2y'+10y'=e^{-x}\sin(3x)$

$y_h=e^{-x}(C_1cos(3x)+C_2sin(3x))$

Jsem řešil přes variaci konstant, abych se vyhnul 4řádkovém rovnicím, které mi vznikají, když tyto speciální pravé strany počítám přes metodu neurčitých koeficientů.

Teď k věci, jsem už na konci, takto mi vyšli A a B:

$A=\frac{w_1}{w}=-\frac{1}{3}\int_{}^{}\sin^2(3x)=\frac{1}{36}(-6x+\sin(6x))$
$B=\frac{w_2}{w}=\frac{1}{3}\int_{}^{}\cos(3x)*\sin(3x)=-\frac{1}{18}(cos^2(3x))$

dosadím jej do $y_h$

$y_p=e^{-x}(\frac{1}{36}(-6x+\sin(6x))*cos(3x)-\frac{1}{18}(cos^2(3x)*sin(3x))$

a nemám nejmenší páru, jak z toho vyrobit toto:
$y_p=\frac{2}{3}xe^{-x}cos(x)sin^2(x)-\frac{1}{6}xe^{-x}cos(x)$